Кристалл:треугольная

Связь между линейными упругими характеристиками треугольной кристаллической решетки на микро- и макроуровне

Кристаллическая решетка	треугольная
Размерность пространства:	2
Атомов в ячейке:	1
Независимых жесткостей на макроуровне:	1 или 2
Макроскопическая симметрия:	изотропия

Характеристики упругости при различных двухпараметрических описаниях взаимодействия

	Взаимодействие
Характеристика упругости	Силовое	Моментное	3-частичное
[math]K[/math]	[math]\frac{\sqrt3}{2}\,(c_1+3c_2)[/math]	[math]\frac{\sqrt{3}}{2}\,c_A[/math]	[math]\frac{\sqrt{3}}{2}\,c[/math]
[math]C_{11}[/math]	[math]\frac{3\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math]	[math]\frac{\sqrt3}{4}\,(3c_A + c_D)[/math]	[math]\frac{3\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 2\gamma\right)[/math]
[math]C_{12}[/math]	[math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math]	[math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A-c_D)[/math]	[math]\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 - 6\gamma\right)[/math]
[math]C_{44}[/math]	[math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math]	[math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A+c_D)[/math]	[math]\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 6\gamma\right)[/math]
[math]E[/math]	[math]\frac{2\sqrt3}{3}\,(c_1+3c_2)[/math]	[math]\frac{2\sqrt{3}}3\,c_A\,\frac{c_A + c_D}{c_A + c_D/3}[/math]	[math]\frac{2\sqrt{3}}3\,c\,\frac{ca^2 + 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}[/math]
[math]\nu[/math]	[math]\frac 13[/math]	[math]\frac13\,\frac{c_A - c_D}{c_A + c_D/3}[/math]	[math]\frac13\,\frac{ca^2 - 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}[/math]
Условия устойчивости	[math]c_1+3c_2 \gt 0[/math]	[math]c_A \gt 0,[/math] [math]c_A + c_D \gt 0[/math]	[math]c \gt 0,[/math] [math]ca^2 + 6\gamma \gt 0[/math]

Проверить!

Здесь [math]K[/math] - модуль объемного сжатия, [math]C_{kn}[/math] - коэффициенты жесткости, [math]E[/math] - модуль Юнга, [math]\nu[/math] - коэффициент Пуассона;

[math]c_1[/math] и [math]c_2[/math] - жесткости связи с атомами первой и второй координационных сфер (силовое взаимодействие); [math]c_A[/math] и [math]c_D[/math] - продольная и поперечная жесткости связи (моментное взаимодействие); [math]c[/math] и [math]\gamma[/math] - продольная и угловая жесткости связи (3-частичное взаимодействие); [math]a[/math] - длина связи.

Коэффициенты Ляме [math]\lambda,[/math] [math]\mu[/math] и модуль сдвига [math]G[/math] вычисляются по формулам

[math] \lambda = C_{12},\qquad \mu = G = C_{44}. [/math]

В силу изотропии линейных упругих свойств треугольной кристаллической решетки выполняется тождество [math] C_{44} = \frac12\,(C_{11}-C_{12}). [/math]

Для треугольной кристаллической решетки моментное взаимодействие эквивалентно 3-частичному, соответствие устанавливается формулами

[math] c_A = c \,,\qquad c_D = 6\gamma/a^2. [/math]

Литература

• А.М. Кривцов. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 126 c.

См. также

• Треугольная кристаллическая решетка