Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки — различия между версиями
Pepper (обсуждение | вклад) (→Численное решение) |
Pepper (обсуждение | вклад) (→top) |
||
| (не показано 11 промежуточных версий 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | [[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки''' <HR> | ||
| + | |||
| + | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]''''' | ||
| + | |||
| + | '''Исполнитель:''' [[Иванова Яна]] | ||
| + | |||
| + | '''Группа:''' 43604/1 | ||
| + | |||
| + | '''Семестр:''' осень 2018 | ||
| + | |||
=Постановка задачи= | =Постановка задачи= | ||
| − | Рассматривается цепочка элементов, состоящая из | + | Рассматривается одномерная цепочка элементов, состоящая из частиц с одинаковыми массами m. Термин "одномерная цепочка" означает совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц.. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования |
| + | одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны. | ||
=Решение= | =Решение= | ||
| − | |||
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | ||
| − | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. | + | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. |
| + | Уравнение движения имеет вид: | ||
| + | ::<math> | ||
| + | {m}\ddot{\bf U}_{i} = {С}({\bf U}_{i-1}-2{\bf U}_{i} + {\bf U}_{i+1}), | ||
| + | </math> | ||
| + | где С - жёсткость одной пружинки, m - масса одной частицы, <math> {\bf U}_{i} </math> - перемещение частицы, a - расстояние между двумя соседними частицами в начальный момент времени. | ||
| − | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости | + | Период одного колебания:<math> {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} </math> |
| + | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости рандомным образом. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Полная энергия системы складывается из потенциальной энергии взаимодействия частиц и их кинетической энергии в каждый момент времени. В циклах для потенциальной и кинетической энергий рассчитываются эти значения. Далее производится нормировка, энергии складываются и строится график зависимости. | ||
=Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта= | =Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта= | ||
| Строка 16: | Строка 32: | ||
Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы. | Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы. | ||
| + | |||
=Численное решение= | =Численное решение= | ||
Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы. | Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы. | ||
[[File:123456ддд.png|center]] | [[File:123456ддд.png|center]] | ||
| − | Численное решение | + | Численное решение методом Верле |
[[File:Эйлерр.png|center]] | [[File:Эйлерр.png|center]] | ||
| − | Численное решение | + | Численное решение методом Эйлера |
| + | |||
| + | [[File:РунгК.jpg|center]] | ||
| − | + | Численное решение методом Рунге-Кутта 4 порядка | |
| − | + | =Результаты= | |
| + | Метод Верле является симплектическим, то есть сохраняющим энергию с течением времени. Это можно проследить из графика, безразмерная энергия колеблется в пределах единицы. Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка энергию не сохраняют, что заметно из возрастания графиков. | ||
Текущая версия на 11:59, 15 марта 2019
Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочкиКурсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Иванова Яна
Группа: 43604/1
Семестр: осень 2018
Содержание
Постановка задачи[править]
Рассматривается одномерная цепочка элементов, состоящая из частиц с одинаковыми массами m. Термин "одномерная цепочка" означает совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц.. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны.
Решение[править]
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Уравнение движения имеет вид:
где С - жёсткость одной пружинки, m - масса одной частицы, - перемещение частицы, a - расстояние между двумя соседними частицами в начальный момент времени.
Период одного колебания: В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости рандомным образом. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Полная энергия системы складывается из потенциальной энергии взаимодействия частиц и их кинетической энергии в каждый момент времени. В циклах для потенциальной и кинетической энергий рассчитываются эти значения. Далее производится нормировка, энергии складываются и строится график зависимости.
Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта[править]
Метод Эйлера - простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.
Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.
Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.
Численное решение[править]
Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы.
Численное решение методом Верле
Численное решение методом Эйлера
Численное решение методом Рунге-Кутта 4 порядка
Результаты[править]
Метод Верле является симплектическим, то есть сохраняющим энергию с течением времени. Это можно проследить из графика, безразмерная энергия колеблется в пределах единицы. Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка энергию не сохраняют, что заметно из возрастания графиков.
