Мещерский 48.36 — различия между версиями
(→Формулировка задачи) |
(→Формулировка задачи) |
||
(не показано 19 промежуточных версий 3 участников) | |||
Строка 2: | Строка 2: | ||
==Формулировка задачи== | ==Формулировка задачи== | ||
− | При наезде тележки A на упругий упор B начинаются колебания подвешенного на стержне груза | + | При наезде тележки <math>{A}</math> на упругий упор <math>{B}</math> начинаются колебания подвешенного на стержне груза <math>{D}</math>. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если <math>{m_1}</math> - масса тележки, <math>{m_2}</math> - масса груза, <math>{l}</math> длина стержня, <math>{c}</math> - коэффициент жёсткости пружины упора <math>{B}</math>. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси <math>{x}</math> взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора <math>{B}</math>. Массой стержня пренебречь. |
− | Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель \dot\varphi, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1<\math>. | + | Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <math>\dot\varphi^2</math>, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1</math>. |
+ | |||
+ | ==Решение задачи== | ||
+ | Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial E_k}{\partial q_i} = Q_i</math>, где | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_k}</math> - кинетическая энергия системы, | ||
+ | : | ||
+ | <math>{q_i}</math> - обобщённые координаты, | ||
+ | : | ||
+ | <math>{Q_i}</math> - обобщённые силы. | ||
+ | |||
+ | Начнём с определения кинетической энергии: | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_\text{k}} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}</math> (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно). | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math> | ||
+ | |||
+ | Из (1) и (2) имеем: | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi \left(3\right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot\varphi}\right) = m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(4\right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{\partial E_k}{\partial\varphi} = - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(5\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 2. Найдём потенциальную энергию системы: | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_\text{p}} = {E_\text{pA}} + {E_\text{pD}}</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_\text{pA}} = \frac{cx^2}{2}</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>{E_\text{pD}} = m_2gl\left(1 - \cos\varphi\right)</math> | ||
+ | |||
+ | Из последних трёх равенств получим | ||
+ | : | ||
+ | <math> - \frac{\partial E_p}{\partial x} = - cx \left(6\right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math> - \frac{\partial E_p}{\partial\varphi} = - m_2gl\sin\varphi \left(7\right)</math> | ||
+ | |||
+ | 3. Имея в виду, что | ||
+ | : | ||
+ | <math> - \frac{\partial E_p}{\partial q_i} = Q_i</math> | ||
+ | и | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{\partial E_k}{\partial x} = 0</math>, | ||
+ | |||
+ | подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода: | ||
+ | : | ||
+ | <math>\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx (8)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)</math> | ||
+ | |||
+ | '''(8), (9) и есть искомые уравнения движения.''' | ||
+ | |||
+ | 4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид: | ||
+ | : | ||
+ | <math>(m_1 + m_2)\ddot x + m_2l\ddot\varphi = 0</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>\ddot x + l\ddot\varphi = - g\varphi</math> | ||
+ | |||
+ | Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение: | ||
+ | : | ||
+ | <math>\ddot\varphi - \frac{g\left(m_1 + m_2\right)}{lm_1}\varphi = 0 \left(10\right)</math> | ||
+ | |||
+ | (10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно, | ||
+ | : | ||
+ | <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g(m_1 + m_2)}}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Реализация на языке JavaScript== | ||
+ | |||
+ | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Mikhailova_AO/48_36.html|width=940 |height=400 |border=0 }} |
Текущая версия на 23:02, 23 декабря 2017
Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.
Формулировка задачи[править]
При наезде тележки
на упругий упор начинаются колебания подвешенного на стержне груза . Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если - масса тележки, - масса груза, длина стержня, - коэффициент жёсткости пружины упора . Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора . Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель , считать , , .Решение задачи[править]
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
, где
- кинетическая энергия системы,
- обобщённые координаты,
- обобщённые силы.
Начнём с определения кинетической энергии:
(здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
Из (1) и (2) имеем:
2. Найдём потенциальную энергию системы:
Из последних трёх равенств получим
3. Имея в виду, что
и
,
подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:
(8), (9) и есть искомые уравнения движения.
4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:
Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:
(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,
Реализация на языке JavaScript[править]