Колебания в цилиндрической поверхности (48.12) — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Визуализация)
 
(не показано 12 промежуточных версий 2 участников)
Строка 12: Строка 12:
 
  q - независимые обобщенные координаты
 
  q - независимые обобщенные координаты
  
−
В данной задаче в качестве обобщенной координаты возьмем угол отклонения нити от вертикали <math>q = \varphi </math>.
+
Скорость материальной точки определяется первой производной пути по времени (уравнение пути нам задано в условии). Дальше с помощью уравнения Лагранжа мы найдём частные производные. Найдем обобщённую силу и подставим найденные нами значения в уравнение Лагранжа с учётом данной нам зависимости пути и получим искомый ответ.
  
−
Выразим кинетическую и потенциальную энергии через обобщенную координату.
 
  
−
<math>x=l\sin(\varphi )</math>
+
Скорость мат. точки <math>\dot{s}=\frac{d(4aSinφ)}{dt}=4a\dot{φ}Cosφ</math>
  
−
<math>y=l\cos(\varphi )</math>
+
уравнение Лагранжа
 +
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} </math>
  
−
<math>\dot x= \dot l\sin(\varphi ) + l\cos(\varphi )\dot\varphi </math>
+
==Используемые библиотеки==
−
 
 
−
<math>\dot y= \dot l\cos(\varphi ) - l\sin(\varphi )\dot\varphi </math>
 
−
 
 
−
<math>V^{2}=\dot x^{2}+ \dot y^{2}</math>
 
−
 
 
−
<math>T= \frac{1}{2}\ m\ V ^{2}</math>
 
−
 
 
−
<math>T = \frac{1}{2}\ m\ (\dot l\ ^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2})</math>
 
−
 
 
−
<math>\Pi = m \ g\ l \cos(\varphi )\ </math>
 
−
 
 
−
Дифференцируя полученные выражения энергий и подставляя в уравнение Лагранжа результаты дифференцирования, получаем уравнение движения рассматриваемой системы:
 
−
 
 
−
<math>\ddot\varphi + 2\frac{\dot l}{l}\dot\varphi + \frac{g}{l} \sin(\varphi) = 0 </math>
 
−
 
 
−
==Визуализация процесса==
 
  
 
Для моделирования колебаний данного маятника используется язык программирования JavaScript и следующие библиотеки:
 
Для моделирования колебаний данного маятника используется язык программирования JavaScript и следующие библиотеки:
Строка 46: Строка 30:
 
*stats.js
 
*stats.js
  
−
== Решение ==
+
*​OrbitControls.js
 +
 
 +
== Визуализация ==
  
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/shpentyydn/48.12.html |width=1200 |height=600}}
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/shpentyydn/48.12.html |width=1200 |height=600}}

Текущая версия на 11:31, 22 декабря 2017

Формулировка задачи[править]

Составить уравнение движения материальной точки, движущейся под влиянием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s = a*sin φ

Решение[править]

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода


[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} [/math] , где 

T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

Скорость материальной точки определяется первой производной пути по времени (уравнение пути нам задано в условии). Дальше с помощью уравнения Лагранжа мы найдём частные производные. Найдем обобщённую силу и подставим найденные нами значения в уравнение Лагранжа с учётом данной нам зависимости пути и получим искомый ответ.


Скорость мат. точки [math]\dot{s}=\frac{d(4aSinφ)}{dt}=4a\dot{φ}Cosφ[/math]

уравнение Лагранжа [math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} [/math]

Используемые библиотеки[править]

Для моделирования колебаний данного маятника используется язык программирования JavaScript и следующие библиотеки:

  • three.js
  • dat.gui.js
  • stats.js
  • ​OrbitControls.js

Визуализация[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Колебания_в_цилиндрической_поверхности_(48.12)&oldid=49397»