Фазовые переходы МД — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Задача I)
 
(не показано 9 промежуточных версий 3 участников)
Строка 12: Строка 12:
 
* [[Лебедев Станислав]]
 
* [[Лебедев Станислав]]
 
* [[Демченко Артем]]
 
* [[Демченко Артем]]
−
* [[Киселев Лев]]
+
* [[Киселёв Лев]]
  
 
==Задача II==
 
==Задача II==
Строка 180: Строка 180:
 
Для расчета энергии парного взаимодействия используется следующая формула:  
 
Для расчета энергии парного взаимодействия используется следующая формула:  
 
<math>
 
<math>
−
E(\vec{r}_1,...,\vec{r}_N)=1/2 ∑(i≠j)(φ(r<sub>ij</sub>)), где φ(r<sub>ij</sub>)−потенциал взаимодействия i−го и j−го атомов, находящихся на расстоянии r<sub>ij</sub>.
+
E(\vec{r}_1,...,\vec{r}_N)= \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right]
 
</math>
 
</math>
 +
 +
где <math> φ(r_{ij}) </math> −потенциал взаимодействия i−го и j−го атомов, находящихся на расстоянии <math> r_{ij} </math>.
 +
 
Расчет энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами, идет по формуле
 
Расчет энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами, идет по формуле
−
E=F(∑ <sub>i≠j</sub> ρ<sub>α</sub>(r<sub>ij</sub>)), где r<sub>ij</sub> — расстояние между i−м и j−м атомами,ρ<sub>α</sub> — вклад в плотность заряда электронов от j−го атома в месте расположения i−го атома и F — это функция«погружения», которая представляет энергию,необходимую для помещения i−го атома в электронное облако.  
+
<math>
 +
E = F \sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right]   
 +
</math>
 +
 
 +
где <math> r_{ij} </math> — расстояние между i−м и j−м атомами, <math> ρ_{α} </math> — вклад в плотность заряда электронов от j−го атома в месте расположения i−го атома и F — это функция «погружения», которая представляет энергию,необходимую для помещения i−го атома в электронное облако.  
  
 
Таким образом, энергия i-го атома равна  
 
Таким образом, энергия i-го атома равна  
−
E<sub>i</sub>=F<sub>α</sub>(∑<sub>i≠j </sub>ρ<sub>α</sub>(r<sub>ij</sub>))+1/2 ∑<sub>i≠j</sub>(φ(r<sub>ij</sub>))
+
<math>
 +
E_{i} = F_{α} (\sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right]  + \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right]
 +
</math>
  
 
Для расчета силы от функции погружения используется дифференцирование по плотности:  
 
Для расчета силы от функции погружения используется дифференцирование по плотности:  
−
F<sub>pogr</sub>=−∂F<sub>α</sub>/∂ρ (∑<sub>i</sub> ∂ρ<sub>i</sub>/∂r<sub>ij</sub> ∂r<sub>ij</sub>/∂r<sub>i</sub>)
+
<math>
 +
F_{pogr} = − \frac{\partial F_{α}}{\partial ρ} (\sum \limits_{i} \left[ \frac{\partial ρ_{i}}{\partial r_{ij}} \frac{\partial r_{ij}}{\partial r_{i}}  \right] 
 +
</math>
  
 
Для расчета силы от парного потенциала используется дифференцирование по расстоянию:  
 
Для расчета силы от парного потенциала используется дифференцирование по расстоянию:  
−
F<sub>parn</sub> = − ∂П/∂ρ ∂ρ/∂R R/∂R)
+
<math>
 +
F_{parn} = \frac{\partial Π}{\partial ρ} \frac{\partial ρ}{\partial R} \frac{\vec{R}}{\partial R} 
 +
</math>
 
   
 
   
 
Общая сила равна сумме сил, действующих со стороны обоих потенциалов:  
 
Общая сила равна сумме сил, действующих со стороны обоих потенциалов:  
−
F = F<sub>pogr</sub> + F<sub>parn</sub>
+
<math>
 +
F = F_{pogr} + F_{parn}
 +
</math>

Текущая версия на 00:19, 25 мая 2018

Виртуальная лаборатория > Фазовые переходы МД

Задача[править]

Переход от кристаллической структуры к газу. В направлении абсцисс используются периодические ГУ, в направлении оси ординат один ряд частиц фиксирован, с другой стороны несколько рядов частиц (3-5) нагреваются посредством термостата Берендсена (регулируемые параметры). Частицы взаимодействуют посредством потенциала. Уравнения движения интегрируются методом Leapfrog. Система забывает об улетевших частицах.

Задача I[править]

Написать графический интерфейс, позволяющий наблюдать движение частиц. Предусмотреть возможность отключаемого отображения: температуры (цветом), скорости (светом и отрезком), связей между частицами (отрезком). Реализовать возможность выбора частицы мышкой и вывода подробной информации (номер, скорость, сила). Список Группы:

Задача II[править]

Основные элементы расчетной части: Запуск расчета, создание образца с треугольной решеткой, задание начальных условий, определение связей, интегрирование уравнений движения методом Leapfrog, расчет сил парным потенциалом. Удаление улетевших частиц.

Список Группы:

Задача III[править]

Расчет сил потенциалом Бреннера второго поколения, создание решетки графена, расчет связей, термостат Берендсена.

Список Группы:

Задача IV[править]

Расчет сил потенциалом погруженного атома для Железа. Задание периодических граничных условий.

Список Группы:

Решение задачи[править]

Открывать лучше в Mozile FireFox, либо настраивать аппаратное ускорение самому (если программа не открывается)

Потенциал Бреннера второго поколения[править]

Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи в виде

[math] E_b = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right]. [/math]

Силу, действующую на частицу с номером I можно рассчитать как минус градиент энергии (производная по радиус-вектору частицы i)

[math] \vec{F}_i = - \sum \limits_{j \neq i} \left[ \frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i}-\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i}V^A(r_{ij})-b_{ij}\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \right], [/math]

Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:

[math] \frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A e^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) Q \frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}^3}Ae^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A a e^{-ar_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}. [/math]

[math] V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r}, [/math]

где

[math] f^c (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt D_{\min}, \\ D_{\min} \lt r \lt D_{\max}, \\ r \gt D_{\max}, \end{array} [/math]

[math] \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \left\{ \begin{array}{l} \vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} \lt D_{min} \\ \sin{\left( \pi \frac{(r_{ij}-D_{min})}{(D_{max} - D_{min})} \right)} \cdot \frac{\pi \vec{r}_{ij}}{(D_{min}- D_{max})r_{ij}}, \ \ \ \ \mbox{при} D_{min} \lt r_{ij} \lt D_{max} \\ \vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} \gt D_{max} \end{array} \right. [/math]

[math] \frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot \sum \limits_{n=1,3} B_n e^{-\beta_nr_{ij}} + f^c(r_{ij}) \cdot \sum \limits_{n=1,3}B_n \beta_n e^{-\beta_nr_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}. [/math]


Параметры имеют вид:

[math] \begin{array}{l} B_1 = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1 = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296 0833 \,\mbox{Å},\\ B_2 = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170 \,\mbox{eV},\\ B_3 = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3 = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595 \,\mbox{Å}^{-1},\\ D_{\min} = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max} = 2.0 \,\mbox{Å}. \end{array} [/math]

Множитель [math]b_{ij}[/math] равен [math]b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math]

а, соответственно его производная [math] \frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial B_{ij}}{\vec{r}_i}+ \frac{\partial B_{ji}}{\partial \vec{r}_i} \right) [/math], где

[math] B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk})) \right]^{-1/2}, [/math]

А производная[math]B_{ij}[/math] считается по следующей формуле

[math] \frac{\partial B_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \sum \limits_{k \neq i,j} \left[ \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot G(\cos{(\theta_{ijk})}) + f^c(r_{ik}) \cdot \frac{\partial G(\cos{(\theta_{ijk})})}{\partial \vec{r}_i} \right] . [/math]

[math] \frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \cos{\theta_{ijk}}} \cdot \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i}. [/math]

где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G(\cos\theta)[/math] строится как полином через значения функции и ее производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза ([math]\theta = \arccos(-1/3)[/math]) и графена ([math]\theta = 2 \pi / 3[/math]):

[math]\theta(rad)[/math] [math]G(\cos \theta)[/math] [math]dG(\cos \theta) / d\cos \theta[/math] [math]d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2[/math]
[math]0.6082\pi[/math] [math]0.097 33[/math] [math]0.400 00[/math] [math]1.980 00[/math]
[math]2\pi / 3[/math] [math]0.052 80[/math] [math]0.170 00[/math] [math]0.370 00[/math]

Производные от косинуса по радиус-векторам i-ой и j-ой частицы высчитываются так (где i – вершина угла):

[math] \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ij} \times \vec{r}_{ik} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}} + \frac{\vec{r}_{ik} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ik}^3 r_{ij}},\ \ \ \ \mbox{i —- вершина} [/math]

[math] \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_j} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}}. [/math]

Потенциал погруженного атома[править]

Модель погружённого атома (англ. embedded atom model, EAM) используется для приближенного описания энергии взаимодействия между двумя атомами. Полная энергия системы состоит из двух слагаемых – энергии парного взаимодействия атомов и энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами.

Для расчета энергии парного взаимодействия используется следующая формула: [math] E(\vec{r}_1,...,\vec{r}_N)= \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right] [/math]

где [math] φ(r_{ij}) [/math] −потенциал взаимодействия i−го и j−го атомов, находящихся на расстоянии [math] r_{ij} [/math].

Расчет энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами, идет по формуле [math] E = F \sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right] [/math]

где [math] r_{ij} [/math] — расстояние между i−м и j−м атомами, [math] ρ_{α} [/math] — вклад в плотность заряда электронов от j−го атома в месте расположения i−го атома и F — это функция «погружения», которая представляет энергию,необходимую для помещения i−го атома в электронное облако.

Таким образом, энергия i-го атома равна [math] E_{i} = F_{α} (\sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right] + \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right] [/math]

Для расчета силы от функции погружения используется дифференцирование по плотности: [math] F_{pogr} = − \frac{\partial F_{α}}{\partial ρ} (\sum \limits_{i} \left[ \frac{\partial ρ_{i}}{\partial r_{ij}} \frac{\partial r_{ij}}{\partial r_{i}} \right] [/math]

Для расчета силы от парного потенциала используется дифференцирование по расстоянию: [math] F_{parn} = \frac{\partial Π}{\partial ρ} \frac{\partial ρ}{\partial R} \frac{\vec{R}}{\partial R} [/math]

Общая сила равна сумме сил, действующих со стороны обоих потенциалов: [math] F = F_{pogr} + F_{parn} [/math]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Фазовые_переходы_МД&oldid=50331»