Диффузионные процессы в одномерном кристалле — различия между версиями

Текущая версия на 13:13, 17 сентября 2017

Разработчик: А.М. Кривцов

Частично использована программа Динамика одномерного кристалла, разработчик Д.В. Цветков

Исследуемая модель[править]

Идеальная одномерная цепочка, состоящая из одинаковых частиц (материальных точек), взаимодействующих посредством линейных парных сил (линейные пружины), при этом учитывается взаимодействие только между ближайшими соседями. Цепочка содержит [math]N[/math] частиц, используются периодические граничные условия. Начальные условия: скорости распределены равномерно в заданном интервале, перемещения равны нулю. Начальная скорость центра масс устанавливается равной нулю. Интегрирование осуществляется методом центральных разностей.

Обозначения[править]

Уравнения динамики цепочки имеют вид

[math] \ddot u_n = \omega_0^2\left(u_{n-1} - 2u_n + u_{n+1}\right), [/math]

где [math]u[/math] — перемещение частицы; [math]n[/math] — номер частицы; [math]\omega_0 = \sqrt{C/m}[/math] — парциальная частота (частота колебаний массы [math]m[/math] на пружине жесткости [math]C[/math]); точками обозначена вторая производная по времени. Периодические граничные условия задаются формулой: [math] u_{n+N} = u_n, [/math] где [math]N[/math] — число независимых частиц в цепочке. Начальные перемещения частиц равны нулю, начальные скорости представляют собой случайную величину, равномерно распределенную в интервале: [math]|\dot u_n| \le v_{\rm max}.[/math]

Для описания стохастических процессов в цепочке вычисляются корреляции перемещений

[math] \xi_k = \frac1N\sum_{n=1}^N u_n u_{n+k}, [/math]

где корреляция с индексом [math]0[/math] представляет собой дисперсию перемещений:

[math] \xi_0 = \frac1N\sum_{n=1}^N u_n^2. [/math]

Расчетные параметры[править]

• Число независимых частиц: [math]N = 1000.[/math]
• Шаг интегрирования: [math]\tau = 0.02\,T_0,[/math] где [math]T_0=2\pi/\omega_0[/math] — парциальный период.

Моделирование[править]

Пояснения[править]

Графические окна (неравенства указывают пределы отображения переменных):

• The chain (синий график): перемещения частиц [math]u[/math] как функция их координаты [math]x;[/math]

[math]0\le x \le L, \qquad |u| \,\le\, 0.5 \,a_0\,\sqrt N;[/math]

• Dispersion (серый график): дисперсия перемещений частиц [math]\xi_0[/math] как функция времени [math]t;[/math]

[math]0\le t \le 3T, \qquad 0\le \xi_0 \le 0.1 \,a_0^2\,N;[/math]

• Correlations (красный график): зависимость корреляций перемещений [math]\xi[/math] от расстояния между частицами [math]x;[/math]

[math]0\le x \le L, \qquad 0\le \xi \le 0.05 \,a_0^2\,N.[/math]

Здесь использованы обозначения: [math]L[/math] — длина цепочки; [math]a_0 = v_{\rm max}/\omega_0[/math] — масштаб длины; [math]T = N/(2\omega_0)[/math] — период изменения дисперсии (равен половине периода первой формы длинноволновых колебаний цепочки). Координаты частиц и длина цепочки могут быть вычислены по формулам: [math]x = a n[/math], [math]L = a N[/math], где [math]a[/math] — среднее расстояние между частицами.

После достижения максимального отображаемого времени начинается новый эксперимент: система перезапускается с новым случайным распределением скоростей (начальная дисперсия скоростей остается неизменной).

Статистические данные по дисперсии (выводятся под графиком дисперсии):

• average — среднее значение дисперсии (по всем проведенным экспериментам),
• min max — минимальное значение максимума дисперсии,
• ave max — среднее значение максимума дисперсии,
• max max — максимальное значение максимума дисперсии.

Переход к бесконечному кристаллу[править]

Системы с большим числом частиц при временах, достаточно малых, чтобы конечность цепочки не успела проявиться, рассматриваются на странице

• Корреляции перемещений в одномерном кристалле, малые времена
• Дисперсия перемещений в одномерном кристалле