Бублий И.Р.: Движение тела-точки в центральном потенциальном поле — различия между версиями
(→Аннотация) |
|||
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 4: | Строка 4: | ||
== Аннотация == | == Аннотация == | ||
Классическая механика, как метод изучения физических процессов, не имеет внутри себя ограничений на область применения. Естественно, каждая используемая модель имеет ограниченную область применения. Перспективным направлением развития классической механики является создание и использование более сложных базовых моделей. С помощью этих моделей можно описывать явления, ранее считавшиеся неподвластными методу классической механики. | Классическая механика, как метод изучения физических процессов, не имеет внутри себя ограничений на область применения. Естественно, каждая используемая модель имеет ограниченную область применения. Перспективным направлением развития классической механики является создание и использование более сложных базовых моделей. С помощью этих моделей можно описывать явления, ранее считавшиеся неподвластными методу классической механики. | ||
− | Данная работа посвящена описанию движения тела вблизи центра притяжения методами механики Эйлера. В качестве тела используется базовая модель тела-точки, введенная в рассмотрение П.А. Жилиным | + | Данная работа посвящена описанию движения тела вблизи центра притяжения методами механики Эйлера. В качестве тела используется базовая модель тела-точки, введенная в рассмотрение П.А. Жилиным. Тело-точка общего вида является обобщением модели бесконечно малого абсолютно твердого тела , а соответственно и материальной точки. Тело-точка - это материальный объект, занимающий нулевой объем в пространстве. В отличие от материальной точки, тело-точка совершает не только трансляционные, но и вращательные движения. Фактически, определением тела-точки является задание его кинетической энергии в следующем виде: |
<math> | <math> | ||
Строка 10: | Строка 10: | ||
</math> | </math> | ||
− | Здесь <math>\boldsymbol{v}</math> - вектор трансляционной скорости, <math>\boldsymbol{\omega}</math> - вектор угловой скорости, <math>m</math> - масса тела-точки, <math>B, J</math> - тензоры инерции тела-точки. Нетрудно видеть, что кинетическая энергия тела-точки имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия абсолютно твердого тела. При этом в отличие от твердого тела, тензор <math>B</math> тела-точки не обязан обладать свойством антисимметричности | + | Здесь <math>\boldsymbol{v}</math> - вектор трансляционной скорости, <math>\boldsymbol{\omega}</math> - вектор угловой скорости, <math>m</math> - масса тела-точки, <math>B, J</math> - тензоры инерции тела-точки. Нетрудно видеть, что кинетическая энергия тела-точки имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия абсолютно твердого тела. При этом в отличие от твердого тела, тензор <math>B</math> тела-точки не обязан обладать свойством антисимметричности. |
Целью данной работы является решение задачи о движении тела-точки вблизи неподвижного центра притяжения, анализ влияния параметров задачи на вид решения, получение пространственных траекторий движения. | Целью данной работы является решение задачи о движении тела-точки вблизи неподвижного центра притяжения, анализ влияния параметров задачи на вид решения, получение пространственных траекторий движения. | ||
− | Полученные результаты могут быть использованы для описания движения планет и спутников | + | Полученные результаты могут быть использованы для описания движения планет и спутников, движения заряженных частиц, движения тел в магнитном и электрическом полях, поведение сред, частицы которых имеют вращательные степени свободы. Тем не менее, в основной части работы автор будет оперировать абстрактными механическими величинами без привязки к конкретной области применения. |
+ | |||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
Численно исследовать решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (их вывод подробно описан в работе) следующего вида: | Численно исследовать решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (их вывод подробно описан в работе) следующего вида: | ||
Строка 64: | Строка 65: | ||
|\boldsymbol{R}||_{t=0}=|\boldsymbol{R_0}|, \quad \dfrac{d|\boldsymbol{R}|}{dt}|_{t=0}=\dfrac{\boldsymbol{v_0}\cdot \boldsymbol{R_0}}{|\boldsymbol{R_0}|} | |\boldsymbol{R}||_{t=0}=|\boldsymbol{R_0}|, \quad \dfrac{d|\boldsymbol{R}|}{dt}|_{t=0}=\dfrac{\boldsymbol{v_0}\cdot \boldsymbol{R_0}}{|\boldsymbol{R_0}|} | ||
</math> | </math> | ||
+ | |||
+ | == Для частного решения доказаны следующие факты: == | ||
+ | 1. Если <math>\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0}=0</math>, траектория - окружность, <math>|\boldsymbol{R}|=const</math>. | ||
+ | |||
+ | Если <math>\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0} \ne 0</math>, траектория - пространственная кривая. | ||
+ | |||
+ | При любых начальных условиях <math>|\boldsymbol{R}| \ne const</math> | ||
+ | |||
+ | 2. Пусть <math>\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0} \ne 0</math>. Введем обозначение <math>Cos \beta = \dfrac{\boldsymbol{K_1}\cdot\boldsymbol{K_2}}{|\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}</math> | ||
+ | |||
+ | Из интеграла энергии: | ||
+ | <math>\dfrac{1}{|\boldsymbol{R}|}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{R_0}|}+\dfrac{2 B |\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}{A m (J-B^2)}(Cos \beta-Cos \beta_0)</math> | ||
+ | |||
+ | Тогда <math> R_1 \le |\boldsymbol{R}|\le R_2 </math>, где <math> \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} =\dfrac{2 B |\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}{A M (J-B^2)} </math> | ||
+ | |||
+ | == Результаты численных расчетов == | ||
+ | Параметры задачи выбраны так, чтобы траектории тела-точки находились в тонком концентрическом шаровом слое, подобном электронному облаку в атоме водорода. | ||
+ | |||
+ | {|align="center" | ||
+ | |||
+ | |[[Файл:b2.jpg|700px|thumb]] | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | == Основные результаты == | ||
+ | Исследованы зависимости радиуса вектора, количества движения и собственного кинетического момента от начальных условий и параметра <math>J^*</math>. | ||
+ | |||
+ | Установлено, что возможно движение, при котором угол наклона плоскости орбиты тела-точки к плоскости, ортогональной вектору полного кинетического момента, совершает колебания, подобные колебаниям угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики. | ||
+ | |||
+ | Установлено, что существуют траектории, лежащие в сферическом слое, аналогичном электронной орбитали вокруг атома водорода в невозбужденном состоянии. Найдены параметры, регулируя которые можно менять толщину этого слоя. |
Текущая версия на 00:18, 17 сентября 2014
Работу выполнил студент кафедры "Теоретическая механика" Бублий Илья (Группа 04).
Содержание
- 1 Руководитель
- 2 Аннотация
- 3 Постановка задачи
- 4 Результаты численных расчетов
- 5 Зависимость характера траектории от параметра [math]B \cdot m=10^n[/math] кг[math] \cdot[/math] м
- 6 Система Земля-Луна
- 7 Частное решение задачи, [math] |\boldsymbol{K_1}|=const[/math]
- 8 Для частного решения доказаны следующие факты:
- 9 Результаты численных расчетов
- 10 Основные результаты
Руководитель[править]
Руководитель СПбГПУ: д.ф.-м.н Е.А. Иванова
Аннотация[править]
Классическая механика, как метод изучения физических процессов, не имеет внутри себя ограничений на область применения. Естественно, каждая используемая модель имеет ограниченную область применения. Перспективным направлением развития классической механики является создание и использование более сложных базовых моделей. С помощью этих моделей можно описывать явления, ранее считавшиеся неподвластными методу классической механики. Данная работа посвящена описанию движения тела вблизи центра притяжения методами механики Эйлера. В качестве тела используется базовая модель тела-точки, введенная в рассмотрение П.А. Жилиным. Тело-точка общего вида является обобщением модели бесконечно малого абсолютно твердого тела , а соответственно и материальной точки. Тело-точка - это материальный объект, занимающий нулевой объем в пространстве. В отличие от материальной точки, тело-точка совершает не только трансляционные, но и вращательные движения. Фактически, определением тела-точки является задание его кинетической энергии в следующем виде:
Здесь
- вектор трансляционной скорости, - вектор угловой скорости, - масса тела-точки, - тензоры инерции тела-точки. Нетрудно видеть, что кинетическая энергия тела-точки имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия абсолютно твердого тела. При этом в отличие от твердого тела, тензор тела-точки не обязан обладать свойством антисимметричности. Целью данной работы является решение задачи о движении тела-точки вблизи неподвижного центра притяжения, анализ влияния параметров задачи на вид решения, получение пространственных траекторий движения. Полученные результаты могут быть использованы для описания движения планет и спутников, движения заряженных частиц, движения тел в магнитном и электрическом полях, поведение сред, частицы которых имеют вращательные степени свободы. Тем не менее, в основной части работы автор будет оперировать абстрактными механическими величинами без привязки к конкретной области применения.Постановка задачи[править]
Численно исследовать решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (их вывод подробно описан в работе) следующего вида:
Начальные условия:
Результаты численных расчетов[править]
Далее параметр
. Соотношение между векторами начального радиуса-вектора и начальной скорости выбрано таким, при котором материальная точка двигалась бы по окружности. Рассмотрены три варианта направления вектора начальной угловой скорости . В каждом случае варьировался его модуль.Зависимость характера траектории от параметра кг м[править]
Система Земля-Луна[править]
Расчеты проводились для параметров задачи о движении Луны вокруг Земли. Дополнительный параметр
варьировался в широких пределах. При значениях порядка кг м траектория тела-точки напоминает о колебаниях угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики (type 2)Частное решение задачи, [править]
Начальные условия должны быть такими, что:
В этом случае задача сводится к решению уравнения для
:
Начальные условия:
Для частного решения доказаны следующие факты:[править]
1. Если
, траектория - окружность, .Если
, траектория - пространственная кривая.При любых начальных условиях
2. Пусть
. Введем обозначениеИз интеграла энергии:
Тогда
, гдеРезультаты численных расчетов[править]
Параметры задачи выбраны так, чтобы траектории тела-точки находились в тонком концентрическом шаровом слое, подобном электронному облаку в атоме водорода.
Основные результаты[править]
Исследованы зависимости радиуса вектора, количества движения и собственного кинетического момента от начальных условий и параметра
.Установлено, что возможно движение, при котором угол наклона плоскости орбиты тела-точки к плоскости, ортогональной вектору полного кинетического момента, совершает колебания, подобные колебаниям угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики.
Установлено, что существуют траектории, лежащие в сферическом слое, аналогичном электронной орбитали вокруг атома водорода в невозбужденном состоянии. Найдены параметры, регулируя которые можно менять толщину этого слоя.