КП: Тензор жесткости кристалла — различия между версиями
(→Решение) |
(→Ссылки по теме) |
||
| (не показано 7 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
Дадим определение тензору жесткости: | Дадим определение тензору жесткости: | ||
Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть | Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть | ||
| − | представлена в виде: <math>W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot | + | представлена в виде: <math>W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math> |
где тензор C называют тензором жесткости материала. | где тензор C называют тензором жесткости материала. | ||
Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором | Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором | ||
| − | деформации ε: <math>\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={ | + | деформации ε: <math>\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={ ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math> |
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая). | Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая). | ||
Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы. | Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы. | ||
| − | |||
| − | <math> | + | <math>C</math> — тензор жесткости |
| − | <math>n</math> | + | <math>c</math> — линейная жесткость каждой пружины |
| + | |||
| + | <math>n</math> — количество пружин(узлов решетки) | ||
| + | |||
| + | <math>a</math> — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае. | ||
| + | |||
| + | <math>e_{i}</math> — единичный направляющий вектор | ||
== Общие сведения по теме == | == Общие сведения по теме == | ||
| Строка 55: | Строка 60: | ||
Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости. | Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости. | ||
| − | <math> ^2 C = \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math> | + | <math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math> |
Результат: | Результат: | ||
| − | <math> ^2 C = \frac{ | + | <math> ^2 C = \frac{cna} {2} E </math> — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга. |
''Второй этап'' | ''Второй этап'' | ||
| Строка 64: | Строка 69: | ||
Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая) | Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая) | ||
| − | <math> ^2 C = \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math> | + | <math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math> |
| − | <math> ^ | + | <math> ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}</math> |
Результат: <math> ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}</math> | Результат: <math> ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}</math> | ||
| + | |||
Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время. | Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время. | ||
| Строка 75: | Строка 81: | ||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == | ||
| + | |||
| + | * [[Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов]] | ||
* [[Проект "Кристалл"]] | * [[Проект "Кристалл"]] | ||
Текущая версия на 14:57, 28 мая 2013
А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Тензор жесткости кристалла
Курсовой проект по Теоретической механике
Исполнитель: Ванюшкина Валентина
Группа: 07 (20510)
Семестр: весна 2013
Содержание
Аннотация проекта[править]
Проект посвящен тензору жесткости кристаллов.
Дадим определение тензору жесткости: Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть представлена в виде: где тензор C называют тензором жесткости материала.
Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором деформации ε:
Постановка задачи[править]
Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая). Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.
— тензор жесткости
— линейная жесткость каждой пружины
— количество пружин(узлов решетки)
— длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.
— единичный направляющий вектор
Общие сведения по теме[править]
Гранецентрированная кубическая решетка
Атомы расположены в центрах граней и вершинах кубов, плотно заполняющих пространство. Соответствует одной из возможных плотных упаковок шаров в пространстве. Этой решеткой обладает ряд металлов(алюминий, золото, медь, серебро, никель, платина и др.) ее образуют при конденсации инертные газы.
Объемно центрированная решётка
Основу ОЦК-решетки составляет элементарная кубическая ячейка (рис. 1.2,б), в которой положительно заряженные ионы металла находятся в вершинах куба, и еще один атом в центре его объема, т. е. на пересечении его диагоналей. Такой тип решетки в определенных диапазонах температур имеют железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден и др. металлы.
Кубическая решетка
Простейший, но редко встречающийся тип решетки. Атомы расположены на вершинах куба.
Решение[править]
Первый этап
Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.
Результат: — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.
Второй этап
Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)
Результат:
Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.
Обсуждение результатов и выводы[править]
Получили, что тензор жесткости второго ранга шаровой,а значит изотропный. Следовательно, можно ожидать, что тензоры жесткости 3-го и 4-го рангов будут изотропными.
