Hertz-Mindlin — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Ссылки)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
−
Силы взаимодействия рассчитываются согласно формулам:
+
==Силы взаимодействия==
 
:<math>{F_n} = -\frac{4}{3}E^*\sqrt{R^*}\delta^{\frac{3}{2}}</math>
 
:<math>{F_n} = -\frac{4}{3}E^*\sqrt{R^*}\delta^{\frac{3}{2}}</math>
−
недописано
+
:<math>{F^d_n} = -2 \sqrt{\frac{5}{6}}\beta \sqrt{S_n m^*}{v^{rel}_n}</math>
−
<!---:<math>{F_t} = -v_t S_t A_b \delta{t}</math>
 
−
:<math>\delta{M_n} = -\omega_n S_t J \delta{t}</math>
 
−
:<math>\delta{M_t} = -\omega_t S_n \frac{J}{2} \delta{t}</math>
 
−
, где <math>\delta{F_{n,t}}</math> - приращение за шаг интегрирования нормальной и тангенциальной составляющей силы, действующей со стороны связи, <math>\delta{M_{n,t}}</math> - приращение за шаг интегрирования нормальной и тангенциальной составляющей момента, действующего со стороны связи, <math>A_b = \pi {R^2}_b</math> - площадь поперечного сечения связи, <math>J = \frac{1}{2}\pi {R_b}^4</math> - полярный момент инерции сечения связи, <math>R_b</math> - радиус связи, <math>v_{n,t}</math> - нормальная и тангенциальная проекция относительной поступательной скорости частиц соответственно, <math>\omega_{n,t}</math> - нормальная и тангенциальная проекция относительной угловой скорости частиц соответственно, <math>S_{n,t}</math> - нормальная и сдвиговая жесткость связи соответственно, <math>\delta t</math> - шаг интегрирования.
 
−
При моделировании представленные выше силы и моменты со стороны связи складываются с силами и моментами [[Hertz-Mindlin'a]]<ref name="HM"/>, которые возникают только при физическом контакте частиц.
 
  
 +
where <math>{F_n}</math> - normal force, <math>E^*</math> - the equivalent Young’s Modulus, <math>R^*</math> - the equivalent radius, <math>{\delta}_n</math> - normal overlap;
 +
<math>F^d_n</math> - normal damping force, <math>m^*</math> - the equivalent mass, <math>\vec{v^{rel}_n}</math> - the normal component of the relative velocity and <math>\beta</math> and <math>S_n</math>(the normal stiffness) are given by
 +
:<math>\beta=\frac{\ln e}{\sqrt{\ln^2 e + \pi^2}}</math>
 +
:<math>S_n=2Y^*\sqrt{R^*{\delta}_n}</math>
 +
with <math>e</math> the coefficient of restitution.
 +
 +
The tangential force, <math>{F_t}</math>, depends on the tangential overlap <math>{\delta_t}</math>  and the tangential stiffness <math>{S_t}</math>.
 +
:<math>\vec{F_t}=-S_t\vec{\delta_t}</math>
 +
with
 +
:<math>S_t=8G^*\sqrt{R^*\delta_n}</math>
 +
 +
Additionally there is a tangential damping force,<math>\vec{F^d_t}</math>
 +
:<math>\vec{F^d_t} = -2 \sqrt{\frac{5}{6}}\beta \sqrt{S_t m^*}\vec{v^{rel}_t}</math>
 +
where, <math>\vec{v^{rel}_t}</math>, is the relative tangential velocity. The tangential force is limited by Coulomb friction, <math>\mu_s F_n</math> , where <math>\mu_s</math> is the coefficient of static friction.
 +
For simulations in which rolling friction is important, this is accounted for by applying a torque to the contacting surfaces.
 +
:<math> \vec{\tau_i}=-\mu_r F_n R_i \vec{\hat{\omega_i}}  </math>
 +
 +
with <math>\mu_r</math> the coefficient of rolling friction, <math>R_i</math> the distance of the contact point from the centre of mass for object <math>i</math> and <math>\vec{\hat{\omega_i}}</math> the unit angular velocity vector of object <math>i</math> at the contact point.
 +
 +
==Ссылки==
 +
Подробнее описание можно найти в <ref name="HM"/>
 
<references>
 
<references>
−
<ref name="Cundall_BPM">  Potyondy D. O. and Cundall P. A, ''A bonded-particle model for rock''. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 41, (2004), pp. 1329-1364  [[Медиа:Potyondy_Cundall_2004_A_bonded-particle_model_for_rock.pdf|pdf]]
+
 
−
</ref>
 
 
<ref name="HM"> Alberto Di Renzo, Francesco Paolo Di Maio, ''Comparison of contact-force models for the simulation of collisions in DEM-based granular flow codes''. Chemical Engineering Science, 59,(2004) pp. 525–541,  
 
<ref name="HM"> Alberto Di Renzo, Francesco Paolo Di Maio, ''Comparison of contact-force models for the simulation of collisions in DEM-based granular flow codes''. Chemical Engineering Science, 59,(2004) pp. 525–541,  
 
</ref>
 
</ref>
−
</references>--->
+
</references>
 +
 
  
−
[[Category:Взаимодействия]]
 
 
[[Category:Непотенциальные взаимодействия]]
 
[[Category:Непотенциальные взаимодействия]]

Текущая версия на 12:38, 4 февраля 2012

Силы взаимодействия[править]

[math]{F_n} = -\frac{4}{3}E^*\sqrt{R^*}\delta^{\frac{3}{2}}[/math]
[math]{F^d_n} = -2 \sqrt{\frac{5}{6}}\beta \sqrt{S_n m^*}{v^{rel}_n}[/math]

where [math]{F_n}[/math] - normal force, [math]E^*[/math] - the equivalent Young’s Modulus, [math]R^*[/math] - the equivalent radius, [math]{\delta}_n[/math] - normal overlap; [math]F^d_n[/math] - normal damping force, [math]m^*[/math] - the equivalent mass, [math]\vec{v^{rel}_n}[/math] - the normal component of the relative velocity and [math]\beta[/math] and [math]S_n[/math](the normal stiffness) are given by

[math]\beta=\frac{\ln e}{\sqrt{\ln^2 e + \pi^2}}[/math]
[math]S_n=2Y^*\sqrt{R^*{\delta}_n}[/math]

with [math]e[/math] the coefficient of restitution.

The tangential force, [math]{F_t}[/math], depends on the tangential overlap [math]{\delta_t}[/math] and the tangential stiffness [math]{S_t}[/math].

[math]\vec{F_t}=-S_t\vec{\delta_t}[/math]

with

[math]S_t=8G^*\sqrt{R^*\delta_n}[/math]

Additionally there is a tangential damping force,[math]\vec{F^d_t}[/math]

[math]\vec{F^d_t} = -2 \sqrt{\frac{5}{6}}\beta \sqrt{S_t m^*}\vec{v^{rel}_t}[/math]

where, [math]\vec{v^{rel}_t}[/math], is the relative tangential velocity. The tangential force is limited by Coulomb friction, [math]\mu_s F_n[/math] , where [math]\mu_s[/math] is the coefficient of static friction. For simulations in which rolling friction is important, this is accounted for by applying a torque to the contacting surfaces.

[math] \vec{\tau_i}=-\mu_r F_n R_i \vec{\hat{\omega_i}} [/math]

with [math]\mu_r[/math] the coefficient of rolling friction, [math]R_i[/math] the distance of the contact point from the centre of mass for object [math]i[/math] and [math]\vec{\hat{\omega_i}}[/math] the unit angular velocity vector of object [math]i[/math] at the contact point.

Ссылки[править]

Подробнее описание можно найти в [1]

  1. ↑ Alberto Di Renzo, Francesco Paolo Di Maio, Comparison of contact-force models for the simulation of collisions in DEM-based granular flow codes. Chemical Engineering Science, 59,(2004) pp. 525–541,
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Hertz-Mindlin&oldid=8738»