А.М. Кривцов. Рабочие материалы по курсу "Теоретическая механика" — различия между версиями

Текущая версия на 11:31, 18 апреля 2024

Введение[править]

• Теоретическая и рациональная механика.
• Механика и математика.
• Механика и другие науки.

Ссылки: Механика.

Глава 1. Основные понятия Механики[править]

§1.1. Развитие механики[править]

• 3 век до Н.Э.: Архимед. [1], [2]
• 16–17 века: Галилео Галилей. [3]
• 17–18 века: Исаак Ньютон. [4]
• 18 век: Леонард Эйлер. [5]

Ссылки: П.А. Жилин. Основные этапы развития механики.

§1.2. Механика в XXI веке[править]

Достижения[править]

• 2004 г. Графен.
• 2005 г. Эрида.
• 2010 г. Бурдж Халифа.
• 2012 г. Мост на о. Русский.

Антидостижения[править]

• 2001 г. ВТЦ.
• 2003 г. Конкорд.
• 2011 г. Спейс Шаттл.

Ссылки: Механика в XXI веке

§1.3. О методе механики[править]

• Рациональное построение.
• Уравнения баланса.
• Определяющие уравнения.
• Математические соотношения.

Конец лекции 1

§1.4. Основные понятия[править]

Пространство[править]

• Трехмерность.
• Однородность.
• Изотропность.

Время[править]

• Одномерность.
• Однородность.
• Направленность.

Материальное тело[править]

• Материальная точка (теоретическая механика).
• Твердое тело (теоретическая механика, динамика твердого тела).
• Деформируемое тело (механика сплошных сред).
• Тело с микроструктурой (механика дискретных сред).

Движение[править]

• Относительность движения.

§1.5. Система отсчета[править]

• Определение тела отсчета (ТО).
• Определение системы отсчета (СО).
• Определение системы координат.
• Различие между системой отсчета и системой координат.

§1.6. Скалярные, векторные и тензорные величины[править]

• Скаляры.
• Векторы.
• Тензоры.

§1.7. Основные операции с векторами[править]

• Скалярное произведение.
• Векторное произведение.
• Тензорное произведение.
• Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Конец лекции 2

• Двойные произведения.
• Полезные тождества.
• Дифференцирование векторных выражений.

§1.8. Векторный базис[править]

• Определение 1. Линейная комбинация векторов.
• Определение 2. Линейная независимость векторов.
• Определение 3. Базис.
• Теорема. Разложение вектора по базису: существование и единственность. (Без доказательства).

§1.9. Ортонормированный базис[править]

• Определение и обозначения.
• Операции с базисными векторами.
• Разложение произвольного вектора.
• Представление операций с векторами.

§1.10. Декартовы, полярные и цилиндрические координаты[править]

• Преобразование координат.
• Базисные векторы.
• Представление векторов.

Глава 2. Кинематика материальной точки[править]

§2.1. Радиус-вектор, скорость и ускорение[править]

• Определения.
• Тождества.

Конец лекции 3

§2.2. Координатный способ задания движения[править]

• Представление кинематических характеристик в Декартовом базисе.
• Полезные тождества.

§2.3. Естественный (траекторный) способ задания движения[править]

• Определения: траектория, путь, перемещение.
• Естественный базис: (орты касательной, нормали и бинормали).
• Кривизна и радиус кривизны траектории.
• Представление скорости и ускорения в естественном базисе.
• Выражение радиуса кривизны через векторы скорости и ускорения.

§2.4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту[править]

• Решение в векторном виде.
• Уравнение траектории.
• Определение характеристик траектории.
  • Максимальная дальность полета.
  • Максимальная высота полета.
  • Оптимальный угол броска.
  • Радиус кривизны в высшей точке.

Ссылки: страница задачи в Виртуальной лаборатории.

Конец лекции 4

§2.5. Равномерное и равноускоренное движение[править]

• Равномерное движение.
  • Определение.
  • Траектория.
• Равноускоренное движение.
  • Определение.
  • Формулы.
  • Траектория.

§2.6. Движение по окружности[править]

• Дифференцирование ортов полярной системы координат.
• Ускорение при движении по окружности.

§2.7. Задачи[править]

• Скорость сближения.
• Задача о 3-х черепахах.
• Задача о собаке и лисице (кривая преследования).

Глава 3. Основы тензорной алгебры[править]

§3.1. Определение тензора 2-го ранга[править]

• Соотношения эквивалентности.
• Определение тензора 2-го ранга.

Конец лекции 5

• Линейные операции с тензорами.
• Нулевой и противоположный тензоры.

§3.2. Транспонирование тензора[править]

§3.3. Тензоры высших рангов[править]

§3.4. Умножения векторных и тензорных величин[править]

§3.5. Свойства умножений[править]

§3.6. Тензорный базис. Координаты тензора 2-го ранга.[править]

§3.7. Единичный тензор. След тензора.[править]

§3.8. Основные формулы координатно-тензорного представления.[править]

§3.9. Векторный инвариант и сопутствующий вектор тензора. Тензор Леви-Чивита.[править]

§3.10. Спектральное разложение тензора 2-го ранга, скалярные инварианты тензора.[править]

§3.11. Обратный тензор.[править]

§3.12. Примеры тензоров (проекторы, тензор жёсткости).[править]

§3.13. Тензор поворота.[править]

Глава 4. Кинематика твердого тела[править]

§4.1. Основные кинематические характеристики: радиус-вектор и тензор поворота, угловая скорость.[править]

§4.2. Скорости и ускорения точек твёрдого тела.[править]

§4.3. Сложение угловых скоростей. Угловая скорость и ось поворота.[править]

§4.4. Поступательное движение. Вращение вокруг неподвижной оси.[править]

§4.5. Плоское движение. Сферическое движение.[править]

§4.6. Углы Эйлера.[править]

§4.7. Кинематика сложного движения материальной точки.[править]

§4.8. Кинематика сложного движения твёрдого тела. Выражение угловой скорости через углы Эйлера методом сложного движения.[править]

Глава 5. Динамика материальной точки[править]

§5.1. Принцип инерции Галилея[править]

• Определение свободного тела.
• Определение инерциальной системы отсчета (ИСО).
• Формулировка принципа инерции Галилея.

§5.2. Законы Ньютона[править]

• Первый закон Ньютона.
• Второй закон Ньютона.
• Третий закон Ньютона.

§5.3. Прямая и обратная задача механики[править]

• Формулировка.
• Обратная задача, методы решения.
• Прямая задача, обобщенная формулировка и примеры.

§5.4. Пример: баллистическое движение[править]

• Постановка задачи.
• Интегрирование уравнений движения.
• Приближенное решение при малом сопротивлении.

Подробнее...

§5.5. Пример: движение в центральном поле[править]

• Постановка задачи.
• Первые интегралы.
• Сведение к квадратурам.
• Анализ случая силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Ссылки: страница задачи в Виртуальной лаборатории.

Глава 6. Динамика системы материальных точек.[править]

§6.1. Центр масс.[править]

§6.2. Закон изменения количества движения.[править]

§6.3. Закон изменения кинетического момента.[править]

§6.4. Кинетический момент относительно центра масс.[править]

§6.5. Закон изменения кинетической энергии.[править]

§6.6. Кинетическая энергия относительно центра масс.[править]

§6.7. Основные формулы динамики системы материальных точек.[править]

§6.8. Работа, потенциальная энергия.[править]

§6.9. Примеры вычисления потенциальной энергии.[править]

Рекомендуемая литература[править]

• П.А. Жилин. Основы рациональной механики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2018, 637 с. (Скачать pdf: 2.9 Mb)
• В.А. Пальмов. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа. Изд-во Политехн. ун-та, 2008, 109 с. (Скачать pdf: 5,54 Mб)
• Е.Н. Вильчевская. Тензорная алгебра и тезорный анализ: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. 128 c. (Скачать pdf: 6.5 Mb)
• П.А. Жилин. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве: учеб. пособие. СПб.: Санкт-Петербургский гос. техн. университет, 1992, 88 с. (Скачать pdf: 5.24 MB)

См. также[править]

• Пример плана лекционного курса “Теоретическая механика”
• Курс "Теоретическая механика" А. М. Кривцова