АК:ТМ

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > План курса

---

Пример плана лекционного курса “Теоретическая механика”

Лектор А. М. Кривцов

Глава 1. Основные понятия механики

1. Введение (краткие сведения из истории механики).
2. Основные понятия: пространство, время, материальное тело, механическое движение.
3. Системы отсчета.
4. Основные понятия о векторах.

Глава 2. Кинематика материальной точки

1. Радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки.
2. Координатный способ задания движения.
3. Естественный способ задания движения.
4. Равномерное и равноускоренное движение.
5. Движение по окружности.
6. Задачи (скорость сближения, кривая преследования, задача о 3-х черепахах).

Глава 3. Основы тензорной алгебры

1. Определение тензора 2-го ранга.
2. Транспонирование тензора. Тензоры высших рангов.
3. Умножения векторных и тензорных величин, свойства умножений.
4. Тензорный базис. Координаты тензора 2-го ранга.
5. Основные формулы координатно-тензорного представления.
6. Единичный тензор. След тензора.
7. Векторный инвариант и сопутствующий вектор тензора. Тензор Леви-Чивита.
8. Спектральное разложение тензора 2-го ранга, скалярные инварианты тензора.
9. Обратный тензор.
10. Примеры тензоров (проекторы, тензор жёсткости).
11. Тензор поворота.

Глава 4. Кинематика твердого тела

1. Основные кинематические характеристики: радиус-вектор и тензор поворота, угловая скорость.
2. Скорости и ускорения точек твёрдого тела.
3. Сложение угловых скоростей. Угловая скорость и ось поворота.
4. Поступательное движение. Вращение вокруг неподвижной оси.
5. Плоское движение. Сферическое движение.
6. Углы Эйлера.
7. Кинематика сложного движения материальной точки.
8. Кинематика сложного движения твёрдого тела. Выражение угловой скорости через углы Эйлера методом сложного движения.

Глава 5. Динамика материальной точки

1. Принцип инерции Галилея. Законы Ньютона.
2. Прямая и обратная задачи динамики.
3. Баллистическое движение.
4. Движение материальной точки в центральном поле.

Глава 6. Динамика системы материальных точек

1. Центр масс.
2. Закон изменения количества движения.
3. Закон изменения кинетического момента.
4. Кинетический момент относительно центра масс.
5. Закон изменения кинетической энергии.
6. Кинетическая энергия относительно центра масс.
7. Основные формулы динамики системы материальных точек.
8. Работа, потенциальная энергия.
9. Примеры вычисления потенциальной энергии.

Глава 7. Дополнительные разделы динамики материальной точки

1. Динамики относительного движения.
2. Задача о падении тела на экваторе.
3. Динамика точки переменной массы.
4. Задача о движении ракеты.

Глава 8. Статика

1. Основные уравнения статики.
2. Примеры внешних воздействий.
3. Виды связей.
4. Плоская система сил.

Глава 9. Тензор инерции твердого тела

1. Определение тензора инерции.
2. Моменты инерции.
3. Формулы замены опорной точки для тензора инерции.
4. Тензор инерции симметричного тела.
5. Примеры вычисления моментов инерции.
6. Кинетический момент твёрдого тела.
7. Кинетическая энергия твёрдого тела.
8. Дифференцирование тензора инерции.

Глава 10. Динамика твердого тела, общие уравнения

1. Поступательное движение твёрдого тела.
2. Вращательное движение твёрдого тела.
3. Полное движение твёрдого тела.
4. Закон изменения кинетической энергии (для твёрдого тела).

Глава 11. Динамика плоского движения твердого тела

1. Общие уравнения динамики плоского движения.
2. Вращение вокруг неподвижной оси.
3. Пример: Гармонические колебания тела вокруг неподвижной оси.
4. Физический маятник: вывод уравнения, малые колебания.
5. Физический маятник: сведение к квадратурам, фазовая плоскость.
6. Плоское движение твёрдого тела, пример: Йо-йо (маятник Максвелла).
7. Качение диска по наклонной плоскости, трение качения.

Глава 12. Динамика пространственного движения твердого тела

1. Основные формулы.
2. Динамические уравнения Эйлера.
3. Задача о свободном твердом теле (Задача Эйлера).
4. Задача о тяжелом твердом теле, получение уравнений движения.
5. Задача о тяжелом твердом теле, первые интегралы.
6. Задача о тяжелом твердом теле, случай Лагранжа, первый способ решения.
7. Задача о тяжелом твердом теле, случай Лагранжа, второй способ решения.
8. Регулярная прецессия волчка Лагранжа.
9. Малые колебания волчка Лагранжа вблизи вертикали.

Глава 13. Динамика несвободных систем

1. Классификация связей.
2. Возможные перемещения и идеальные связи.
3. Статический принцип возможных перемещений.
4. Общее уравнение динамики (поступательное движение и вращение вокруг неподвижной точки).
5. Общее уравнение динамики (плоское движение твердого тела).
6. Уравнения Лагранжа 1-го рода.
7. Тождества Лагранжа.
8. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода.
9. Использование потенциальной энергии в уравнениях Лагранжа 2-го рода.
10. Учет диссипативных сил в уравнениях Лагранжа 2-го рода.
11. Учет произвольных неконсервативных сил в уравнениях Лагранжа 2-го рода.
12. Циклические координаты (пример – движение м.т. в гравитационном поле).
13. Вывод уравнений Гамильтона.
14. Примеры на применение уравнений Гамильтона.
15. Связь функции Гамильтона и полной энергии системы.
16. Интеграл Якоби, пример.

Глава 14. Колебания системы с одной степенью свободы

1. Потенциальная энергия механической системы вблизи положения равновесия, теорема Лагранжа-Дирихле.
2. Свободные колебания консервативной системы.
3. Вынужденные колебания консервативной системы.
4. Интеграл Дюамеля.
5. Влияние вязкого сопротивления на свободные колебания.
6. Вынужденные колебания с учетом линейного вязкого сопротивления.

Глава 15. Колебания консервативной системы с несколькими степенями свободы

1. Получение уравнений движения.
2. Решение уравнений движения.
3. Главные координаты.
4. Пример: две массы, связанные пружинами.
5. Пример: материальная точка на упругом подвесе.

Рекомендуемая литература

• П.А. Жилин. Основы рациональной механики. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2018, 636 с.
• В.А. Пальмов. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа. Изд-во Политехн. ун-та, 2008, 109 с. (Скачать pdf: 5,54 Mб)
• Е.Н. Вильчевская. Тензорная алгебра и тезорный анализ: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 44 c. (Скачать pdf: 297 Kb)

См. также

• Рабочие материалы по курсу "Теоретическая механика"
• Курс "Теоретическая механика" А. М. Кривцова
• Кафедра "Теоретическая механика"
• Механика