Текущая версия на 11:59, 15 марта 2019

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Иванова Яна

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи[править]

Рассматривается одномерная цепочка элементов, состоящая из частиц с одинаковыми массами m. Термин "одномерная цепочка" означает совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц.. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны.

Решение[править]

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Уравнение движения имеет вид:

[math] {m}\ddot{\bf U}_{i} = {С}({\bf U}_{i-1}-2{\bf U}_{i} + {\bf U}_{i+1}), [/math]

где С - жёсткость одной пружинки, m - масса одной частицы, [math] {\bf U}_{i} [/math] - перемещение частицы, a - расстояние между двумя соседними частицами в начальный момент времени.

Период одного колебания:[math] {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} [/math] В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости рандомным образом. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Полная энергия системы складывается из потенциальной энергии взаимодействия частиц и их кинетической энергии в каждый момент времени. В циклах для потенциальной и кинетической энергий рассчитываются эти значения. Далее производится нормировка, энергии складываются и строится график зависимости.

Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта[править]

Метод Эйлера - простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.

Численное решение[править]

Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы.

Численное решение методом Верле

Численное решение методом Эйлера

Численное решение методом Рунге-Кутта 4 порядка

Результаты[править]

Метод Верле является симплектическим, то есть сохраняющим энергию с течением времени. Это можно проследить из графика, безразмерная энергия колеблется в пределах единицы. Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка энергию не сохраняют, что заметно из возрастания графиков.