Бублий И.Р.: Движение тела-точки в центральном потенциальном поле — различия между версиями

Текущая версия на 00:18, 17 сентября 2014

Работу выполнил студент кафедры "Теоретическая механика" Бублий Илья (Группа 04).

Руководитель[править]

Руководитель СПбГПУ: д.ф.-м.н Е.А. Иванова

Аннотация[править]

Классическая механика, как метод изучения физических процессов, не имеет внутри себя ограничений на область применения. Естественно, каждая используемая модель имеет ограниченную область применения. Перспективным направлением развития классической механики является создание и использование более сложных базовых моделей. С помощью этих моделей можно описывать явления, ранее считавшиеся неподвластными методу классической механики. Данная работа посвящена описанию движения тела вблизи центра притяжения методами механики Эйлера. В качестве тела используется базовая модель тела-точки, введенная в рассмотрение П.А. Жилиным. Тело-точка общего вида является обобщением модели бесконечно малого абсолютно твердого тела , а соответственно и материальной точки. Тело-точка - это материальный объект, занимающий нулевой объем в пространстве. В отличие от материальной точки, тело-точка совершает не только трансляционные, но и вращательные движения. Фактически, определением тела-точки является задание его кинетической энергии в следующем виде:

[math] K=m(\dfrac{1}{2} \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{v}+B \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\omega}+\dfrac{1}{2}J \boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}) [/math]

Здесь [math]\boldsymbol{v}[/math] - вектор трансляционной скорости, [math]\boldsymbol{\omega}[/math] - вектор угловой скорости, [math]m[/math] - масса тела-точки, [math]B, J[/math] - тензоры инерции тела-точки. Нетрудно видеть, что кинетическая энергия тела-точки имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия абсолютно твердого тела. При этом в отличие от твердого тела, тензор [math]B[/math] тела-точки не обязан обладать свойством антисимметричности. Целью данной работы является решение задачи о движении тела-точки вблизи неподвижного центра притяжения, анализ влияния параметров задачи на вид решения, получение пространственных траекторий движения. Полученные результаты могут быть использованы для описания движения планет и спутников, движения заряженных частиц, движения тел в магнитном и электрическом полях, поведение сред, частицы которых имеют вращательные степени свободы. Тем не менее, в основной части работы автор будет оперировать абстрактными механическими величинами без привязки к конкретной области применения.

Постановка задачи[править]

Численно исследовать решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (их вывод подробно описан в работе) следующего вида:

[math] \boldsymbol{r}''+\boldsymbol{\Omega}'=-\dfrac{\boldsymbol{r}}{r^3} [/math]

[math] \boldsymbol{r}''+J^* \boldsymbol{\Omega}' =\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}' [/math]

Начальные условия:

[math] \boldsymbol{r}(0)=\boldsymbol{r_0},\quad \boldsymbol{r}'(0)=\boldsymbol{v_0},\quad \boldsymbol{\Omega}(0)=\boldsymbol{\Omega_0} [/math]

Результаты численных расчетов[править]

Далее параметр [math]J^*=100[/math]. Соотношение между векторами начального радиуса-вектора и начальной скорости выбрано таким, при котором материальная точка двигалась бы по окружности. Рассмотрены три варианта направления вектора начальной угловой скорости [math]\boldsymbol{\Omega_0}[/math]. В каждом случае варьировался его модуль.

Зависимость характера траектории от параметра [math]B \cdot m=10^n[/math] кг[math] \cdot[/math] м[править]

Система Земля-Луна[править]

Расчеты проводились для параметров задачи о движении Луны вокруг Земли. Дополнительный параметр [math]B \cdot m[/math] варьировался в широких пределах. При значениях [math]B \cdot m[/math] порядка [math]10^{22}[/math] кг [math]\cdot[/math]м траектория тела-точки напоминает о колебаниях угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики (type 2)

Частное решение задачи, [math] |\boldsymbol{K_1}|=const[/math][править]

Начальные условия должны быть такими, что:

[math] \boldsymbol{v_0}\cdot(\boldsymbol{v_0}+B \boldsymbol{\omega_0})=\dfrac{A}{m |\boldsymbol{R_0}|}, \quad \boldsymbol{R_0}\cdot(\boldsymbol{v_0}+B \boldsymbol{\omega_0})=0 [/math]

В этом случае задача сводится к решению уравнения для [math]|\boldsymbol{R}|[/math]:

[math] \dfrac{d^2 |\boldsymbol{R}|^2}{dt^2}+\dfrac{B^2 |\boldsymbol{K_1}|^2}{m^2 (J-B^2)^2}|\boldsymbol{R}|^2 - \dfrac{2 J A}{m (J-B^2)}\dfrac{1}{|\boldsymbol{R}|}=\dfrac{B^2 (|\boldsymbol{K}|^2+|\boldsymbol{K_2}|^2)-2 J^2 |\boldsymbol{K_1}|^2}{m^2 (J-B^2)^2} [/math]

Начальные условия:

[math] |\boldsymbol{R}||_{t=0}=|\boldsymbol{R_0}|, \quad \dfrac{d|\boldsymbol{R}|}{dt}|_{t=0}=\dfrac{\boldsymbol{v_0}\cdot \boldsymbol{R_0}}{|\boldsymbol{R_0}|} [/math]

Для частного решения доказаны следующие факты:[править]

1. Если [math]\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0}=0[/math], траектория - окружность, [math]|\boldsymbol{R}|=const[/math].

Если [math]\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0} \ne 0[/math], траектория - пространственная кривая.

При любых начальных условиях [math]|\boldsymbol{R}| \ne const[/math]

2. Пусть [math]\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0} \ne 0[/math]. Введем обозначение [math]Cos \beta = \dfrac{\boldsymbol{K_1}\cdot\boldsymbol{K_2}}{|\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}[/math]

Из интеграла энергии: [math]\dfrac{1}{|\boldsymbol{R}|}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{R_0}|}+\dfrac{2 B |\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}{A m (J-B^2)}(Cos \beta-Cos \beta_0)[/math]

Тогда [math] R_1 \le |\boldsymbol{R}|\le R_2 [/math], где [math] \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} =\dfrac{2 B |\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}{A M (J-B^2)} [/math]

Результаты численных расчетов[править]

Параметры задачи выбраны так, чтобы траектории тела-точки находились в тонком концентрическом шаровом слое, подобном электронному облаку в атоме водорода.

Основные результаты[править]

Исследованы зависимости радиуса вектора, количества движения и собственного кинетического момента от начальных условий и параметра [math]J^*[/math].

Установлено, что возможно движение, при котором угол наклона плоскости орбиты тела-точки к плоскости, ортогональной вектору полного кинетического момента, совершает колебания, подобные колебаниям угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики.

Установлено, что существуют траектории, лежащие в сферическом слое, аналогичном электронной орбитали вокруг атома водорода в невозбужденном состоянии. Найдены параметры, регулируя которые можно менять толщину этого слоя.