Уравнение состояния Ми-Грюнайзена — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
−
''страница в разработке''
+
== Основной источник ==
 +
Материал данной статьи более подробно и полно изложен в публикации '''Кривцов А. М., Кузькин В. А. [[Медиа: Krivtsov_2011_MTT.pdf | Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры]] // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3.''' (English translation: A.M. Krivtsov, V.A. Kuzkin, [[Медиа: Krivtsov_2011_MechSol.pdf | Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure]] // Mech. Solids. 46 (3), 387-399 (2011))
 +
 
 
== Уравнение состояния Ми-Грюнайзена ==
 
== Уравнение состояния Ми-Грюнайзена ==
 
При больших давлениях и температурах принято представлять давление <math>p</math> в конденсированном веществе в виде суммы "холодной"  и "тепловой" компонент:
 
При больших давлениях и температурах принято представлять давление <math>p</math> в конденсированном веществе в виде суммы "холодной"  и "тепловой" компонент:
Строка 13: Строка 15:
 
<math> p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T</math>
 
<math> p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T</math>
  
−
Данное уравнение называют '''уравнением состояния Ми-Грюнайзена''', а функцию  <math>\varGamma(V)</math> - '''коэффициентом Грюнайзена'''.
+
Данное уравнение называют '''уравнением состояния Ми-Грюнайзена''', а функцию  <math>\varGamma(V)</math> - '''функцией Грюнайзена'''. Значение <math> \varGamma_0 </math>функции Грюнайзена в недеформированном состоянии тела называют '''коэффициентом Грюнайзена'''.  
 +
 
 +
<math> \varGamma_0 = \varGamma(V_0)</math>
  
 
== Уравнение состояния для кристаллов простой структуры ==
 
== Уравнение состояния для кристаллов простой структуры ==
Строка 48: Строка 52:
  
 
== Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе ==  
 
== Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе ==  
−
 
−
* Потенциал Леннарда-Джонса:
 
−
<math>
 
−
  \varGamma_0  =\frac{11}{d}-\frac{1}{2}.
 
−
</math>
 
−
 
−
 
−
* Потенциал Ми
 
−
<math>
 
−
  \varGamma_0 = \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}.
 
−
</math>
 
−
 
−
 
−
* Потенциал Морзе
 
−
<math>
 
−
\varGamma_0 =  \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}
 
−
</math>
 
−
 
  
 
{|class="wikitable"
 
{|class="wikitable"
 
|-
 
|-
−
!решетка/размерность пространства  
+
!решетка
 +
!размерность пространства  
 
!Потенциал Леннарда-Джонса
 
!Потенциал Леннарда-Джонса
 
!Потенциал Ми
 
!Потенциал Ми
 
!Потенциал Морзе
 
!Потенциал Морзе
 
|-
 
|-
−
|Цепочка (d=1)
+
| Цепочка  
 +
! <math> d=1 </math>
 
! <math>10\frac{1}{2} </math>
 
! <math>10\frac{1}{2} </math>
 
! <math>\frac{m+n+3}{2}</math>
 
! <math>\frac{m+n+3}{2}</math>
 
! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math>
 
! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math>
 
|-
 
|-
−
| Треугольная решетка (d=2)
+
| Треугольная решетка  
 +
!<math>d=2 </math>
 
! <math>5</math>
 
! <math>5</math>
−
! <math> \frac{m+n+4}{4}-\frac{1}{2}</math>
+
! <math> \frac{m+n+2}{4}</math>
−
! <math> \frac{3\alpha a + 1}{4}-\frac{1}{2}</math>
+
! <math> \frac{3\alpha a - 1}{4}</math>
 
|-
 
|-
−
| ГЦК, ОЦК (d=3)
+
| ГЦК, ОЦК  
 +
! <math>d=3 </math>
 
! <math>\frac{19}{6} </math>
 
! <math>\frac{19}{6} </math>
 
! <math>\frac{n+m+1}{6}</math>
 
! <math>\frac{n+m+1}{6}</math>
 
! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math>
 
! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math>
 +
|-
 +
| "Гиперрешетка"
 +
! <math>d=\infty</math>
 +
! <math>-\frac{1}{2}</math>
 +
! <math>-\frac{1}{2}</math>
 +
! <math>-\frac{1}{2}</math>
 
|-
 
|-
 
| Общая формула
 
| Общая формула
−
| <math> \frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math>
+
! <math>d</math>
−
| <math> \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}</math>
+
! <math>\frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math>
−
| <math> \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}</math>
+
! <math>\frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}</math>
 +
! <math>\frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}</math>
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}

Версия 15:30, 7 декабря 2013

Основной источник

Материал данной статьи более подробно и полно изложен в публикации Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. (English translation: A.M. Krivtsov, V.A. Kuzkin, Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure // Mech. Solids. 46 (3), 387-399 (2011))

Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

При больших давлениях и температурах принято представлять давление [math]p[/math] в конденсированном веществе в виде суммы "холодной" и "тепловой" компонент:

[math]p = p_0 + p_T, ~~~~ p_T = p - p_0[/math]

Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии [math] E_T [/math]:

[math]p = p_0(V) + p_T(V,E_T)[/math]

Тепловая энергия - часть внутренней энергии твердого тела, обусловленная тепловым движением атомов. В первом приближении тепловая энергия равна [math] c_V T [/math]. На практике часто предполагается линейная связь теплового давления и тепловой энергии:

[math] p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T[/math]

Данное уравнение называют уравнением состояния Ми-Грюнайзена, а функцию [math]\varGamma(V)[/math] - функцией Грюнайзена. Значение [math] \varGamma_0 [/math]функции Грюнайзена в недеформированном состоянии тела называют коэффициентом Грюнайзена.

[math] \varGamma_0 = \varGamma(V_0)[/math]

Уравнение состояния для кристаллов простой структуры

[math] p_0 = \frac{1}{2V_0d\theta^d}\sum_{k=1}^n N_k\varPhi_k A_k^2,~~~~\varGamma = -\frac{\sum_{k=1}^n N_k((d+2)\varPhi'_k A_k^2 + 2\varPhi''_k A_k^4 )}{d\sum_{k=1}^n N_k (d\varPhi_k +2\varPhi'_k A_k^2)} [/math]

где [math]k[/math] - номер координационной сферы, [math]n[/math] - их число, [math]N_k[/math] - число атомов на [math]k[/math]-ой координационной сфере, [math] A_k = \rho_k R \theta[/math] - радиус координационной сферы, [math] \rho_k=A_k/A_1 [/math] - безразмерные константы решетки, [math]R[/math] - радиус первой координационной сферы в отсчетном положении, [math]\varPhi^{(n)}_k = \varPhi^{(n)}(A_k^2)[/math].


Холодная кривая для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

  • Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6}) [/math]


  • Потенциал Ми

[math] \varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~ p_0 =\frac{m n MD}{2d(n-m)V_0\theta^{d}}\left(\theta^{-n}-\theta^{-m}\right) [/math]

  • Потенциал Морзе

[math] \varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~ p_0 = \frac{\alpha a MD}{d V_0\theta^{d-1}} \left[e^{2\alpha a(1-\theta)}-e^{\alpha a(1-\theta)}\right] [/math]

Здесь [math]D[/math] - энергия связи, [math]a[/math] - длина связи, [math]\alpha[/math] - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; [math]m, n[/math] - параметры потенциала Ми.

Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

решетка размерность пространства Потенциал Леннарда-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе
Цепочка [math] d=1 [/math] [math]10\frac{1}{2} [/math] [math]\frac{m+n+3}{2}[/math] [math]\frac{3\alpha a}{2}[/math]
Треугольная решетка [math]d=2 [/math] [math]5[/math] [math] \frac{m+n+2}{4}[/math] [math] \frac{3\alpha a - 1}{4}[/math]
ГЦК, ОЦК [math]d=3 [/math] [math]\frac{19}{6} [/math] [math]\frac{n+m+1}{6}[/math] [math]\frac{3\alpha a-2}{6}[/math]
"Гиперрешетка" [math]d=\infty[/math] [math]-\frac{1}{2}[/math] [math]-\frac{1}{2}[/math] [math]-\frac{1}{2}[/math]
Общая формула [math]d[/math] [math]\frac{11}{d}-\frac{1}{2}[/math] [math]\frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}[/math] [math]\frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}[/math]




Функция Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

  • Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}. [/math]


  • Потенциал Ми

[math] \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}. [/math]


  • Потенциал Морзе

[math] \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a \theta-d_1\right)-\left(\alpha^2 a^2\theta^2-d_1\alpha a\theta-d_1 \right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-d_1) -(\alpha a\theta-d_1)},~~ [/math] [math]d_1 = d-1,~~[/math] [math]\theta=(V/V_0)^{1/d}[/math]



Статьи

  • Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3.

Ссылки

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Уравнение_состояния_Ми-Грюнайзена&oldid=22632»