Статистические характеристики дискретных сред — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Таблица)
Строка 42: Строка 42:
 
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value Expected value] (mathematical expectation)
 
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value Expected value] (mathematical expectation)
 
|-
 
|-
−
| <math>\varphi(t) = \left<e^{itX}\right> = \int_{-\infty}^\infty e^{itx} f(x)dx</math>
+
| <math>\varphi(s) = \left<e^{isX}\right> = \int_{-\infty}^\infty e^{isx} f(x)dx</math>
 
| [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Характеристическая функция]
 
| [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Характеристическая функция]
 
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_%28probability_theory%29 Characteristic function]
 
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_%28probability_theory%29 Characteristic function]
 
|-
 
|-
−
| <math>M(t) = \left<e^{tX}\right> = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)dx</math>
+
| <math>M(s) = \left<e^{sX}\right> = \int_{-\infty}^\infty e^{sx} f(x)dx</math>
 
| [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2 Производящая функция моментов]
 
| [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2 Производящая функция моментов]
 
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function Moment-generating function]
 
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function Moment-generating function]
 +
|-
 +
| <math>\nu_n = \left<X^n\right> = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)dx = \left.\frac{d^n}{ds^n} M(s)\right|_{s=0}</math>
 +
| Начальный момент [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B]
 +
| Raw moment [https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_%28mathematics%29]
 +
|-
 +
| <math>\mu_n = \left<(X-\nu_1)^n\right> = \int_{-\infty}^\infty (x-\nu_1)^n f(x)dx</math>
 +
| Центральный момент [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B]
 +
| Central moment [https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_%28mathematics%29]
 +
|-
 +
| <math>\kappa_n = \left.\frac{d^n}{ds^n}\ln M(s)\right|_{s=0} = (-i)^n\left.\frac{d^n}{ds^n}\ln \varphi(s)\right|_{s=0}</math>
 +
| [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%83%D0%B8%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82 Полуинвариант] (кумулянт)
 +
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant Cumulant]
 
|}
 
|}
  

Версия 11:31, 22 ноября 2013

Страница находится в разработке

Терминология

  • Начальным и центральным моментом случайной величины [math]\displaystyle X[/math] называются, соответственно, величины
[math]\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], \qquad \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right][/math]
где [math]\mathbb{E}[/math] — математическое ожидание случайной величины, [math]k[/math] — степень момента.

Словарь

Таблица

Обозначение Русское название English name
[math]X[/math] Случайная величина Random variable
[math]F(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )[/math] Функция распределения Cumulative distribution function
[math]f(x) = F'(x)[/math] Плотность распределения Probability density function (distribution density)
[math]\left\lt X\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x f(x)dx[/math] Математическое ожидание Expected value (mathematical expectation)
[math]\varphi(s) = \left\lt e^{isX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{isx} f(x)dx[/math] Характеристическая функция Characteristic function
[math]M(s) = \left\lt e^{sX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{sx} f(x)dx[/math] Производящая функция моментов Moment-generating function
[math]\nu_n = \left\lt X^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)dx = \left.\frac{d^n}{ds^n} M(s)\right|_{s=0}[/math] Начальный момент [1] Raw moment [2]
[math]\mu_n = \left\lt (X-\nu_1)^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty (x-\nu_1)^n f(x)dx[/math] Центральный момент [3] Central moment [4]
[math]\kappa_n = \left.\frac{d^n}{ds^n}\ln M(s)\right|_{s=0} = (-i)^n\left.\frac{d^n}{ds^n}\ln \varphi(s)\right|_{s=0}[/math] Полуинвариант (кумулянт) Cumulant

Ссылки

Литература

  • Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: 2.38 Mb, страница для скачивания).
Born M. «Continuity, determinism and reality», Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-fysiske Meddelelser, Bind 30, Nr.2, (1955) 1-26.
— Впервые рассмотрена (согласно [5]) классическая статистическая механика одной частицы (1955 г.)
  • Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. Оглавление
Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Downlod djvu: 3.9 Mb, download page).
— A negative result (Theorem 7.3.5): The cumulant generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2. <toggledisplay status=hide showtext="Clarification >>" hidetext="Clarification <<" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the normal distribution, it might be hoped to find families of distributions for which κm = κm+1 = ... = 0 for some m > 3, with the lower-order cumulants (orders 3 to m − 1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions.)</toggledisplay> <toggledisplay status=hide showtext="Origin >>" hidetext="Origin <<" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной Юзефом Марцинкевичем, польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 (read online, download pdf: 397 Kb download page). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. Abstract. </toggledisplay>


{{#ifgroup:sysop|

Приложение

Рассмотрим одномерную дискретную среду, сотоящую из [math]N[/math] частиц. Обозначим [math]u_n[/math] — некоторую характеристику частицы, например ее перемещение. Введем среднее значение характеристики как

[math]\left\lt u_n\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n[/math]

и среднее значение степени [math]k[/math]

[math]\left\lt u_n^k\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n^k[/math].

Если интерпретировать [math]u_n[/math] как случайную величину, то при достаточно большом [math]N[/math] величину [math]\left\lt u_n^k\right\gt [/math] можно называть [math]k[/math]-м моментом случайной величины.

}}

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Статистические_характеристики_дискретных_сред&oldid=22423»