КП: Джамперы — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 54: Строка 54:
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 
* '''Решая исходное уравнение (1) получаем решение вида:'''<br>
 
* '''Решая исходное уравнение (1) получаем решение вида:'''<br>
−
<math>x = c_1cos({\sqrt{\frac{c}{m}}}t) + c_2sin({\sqrt{\frac{c}{m}}}t) + \frac{cl_0 - mg}{c}</math><br>
+
<math>x = c_1cos\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right) + c_2sin\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right) + \frac{cl_0 - mg}{c}</math><br>
 
И по задаче Коши высчитываем окончательное уравнение: <br>
 
И по задаче Коши высчитываем окончательное уравнение: <br>
−
<math>x(t) = {(\frac{mg}{c} - \xi_{max})}cos({\sqrt{\frac{c}{m}}}t) + \frac{cl_0 - mg}{c}</math><br>
+
<math>x(t) = {\left(\frac{mg}{c} - \xi_{max}\right)}cos\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right) + \frac{cl_0 - mg}{c}</math><br>
 
<br>
 
<br>
 
* '''Рассмотрим задачу Коши для задачи (2)''' (пружина не касается земли)
 
* '''Рассмотрим задачу Коши для задачи (2)''' (пружина не касается земли)
 
Уравнение скорости в задаче (1) имеет вид:
 
Уравнение скорости в задаче (1) имеет вид:
−
<math>{x^{\prime}(t)} = {\xi_{max}(\frac{mg}{c})}sin({\sqrt{\frac{c}{m}}}t)</math><br>
+
<math>{\dot x(t)} = {\xi_{max}\left(\frac{mg}{c}\right)}sin\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right)</math><br>
 
Когда пружина полностью распрямилась (<math>x = l_0</math>),мы получаем начальное условие для задачи (2). Отсюда выражаем <math>t_r</math> – время распрямления пружины:
 
Когда пружина полностью распрямилась (<math>x = l_0</math>),мы получаем начальное условие для задачи (2). Отсюда выражаем <math>t_r</math> – время распрямления пружины:
−
<math>t_r = {\sqrt{\frac{m}{c}}}arccos(\frac{mg}{mg - c\xi_{max}})</math><br>
+
<math>t_r = {\sqrt{\frac{m}{c}}}arccos\left(\frac{mg}{mg - c\xi_{max}}\right)</math><br>
 
Подставляем найденное время в уравнение скорости и получаем скорость в начальный момент в задаче (2):
 
Подставляем найденное время в уравнение скорости и получаем скорость в начальный момент в задаче (2):
−
<math>V_0 = (\xi_{max} - (\frac{mg}{c})){\sin({\arccos{(\frac{mg}{mg - c\xi_{max}})}})}</math><br>
+
<math>V_0 = \left(\xi_{max} - \left(\frac{mg}{c}\right)\right){\sin\left({\arccos{\left(\frac{mg}{mg - c\xi_{max}}\right)}}\right)}</math><br>
  
 
* '''Зная начальную скорость в начальный момент времени задачи (2) можем высчитать:'''
 
* '''Зная начальную скорость в начальный момент времени задачи (2) можем высчитать:'''
−
** <math>h = (\frac{V_0^2}{2g})</math> – высоту подъема
+
** <math>h = \left(\frac{V_0^2}{2g}\right)</math> – высоту подъема
−
** <math>t_p = (\frac{2V_0}{g})</math> – время полета
+
** <math>t_p = \left(\frac{2V_0}{g}\right)</math> – время полета
  
 
* Из решения видно, что '''единственная неизвестная <math>\xi_{max}</math> – максимальное сжатие пружины'''.<br>
 
* Из решения видно, что '''единственная неизвестная <math>\xi_{max}</math> – максимальное сжатие пружины'''.<br>
 
'''Найдем ее, решая задачу:''' <br>
 
'''Найдем ее, решая задачу:''' <br>
−
Тело массы <math>m</math> абсолютно неупруго падает на пружину жесткости <math>c</math> с высоты <math>h = (\frac{V_0^2}{2g})</math>. Найти максимальное сжатие пружины.<br>
+
Тело массы <math>m</math> абсолютно неупруго падает на пружину жесткости <math>c</math> с высоты <math>h = \left(\frac{V_0^2}{2g}\right)</math>. Найти максимальное сжатие пружины.<br>
  
 
'''Ответ:''' <br>
 
'''Ответ:''' <br>
−
<math>\xi_{max} = (\frac{mg + {\sqrt{(mg)^2 - 2mg(l_0 - h)c}}}{c})</math><br>
+
<math>\xi_{max} = \left(\frac{mg + {\sqrt{(mg)^2 - 2mg(l_0 - h)c}}}{c}\right)</math><br>
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==

Версия 15:23, 28 мая 2013

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Джамперы


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Богданова Ольга

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

На рынке развлечений джамперы появились совсем недавно, но сразу пришлись по душе любителям экстрима различных категорий и возрастов, спортсменам, акробатам. Не обходят вниманием летний аттракцион джампер и клипмейкеры, режиссеры фильмов, создатели телевизионных шоу, пользователи сети интернет. О том, что джамперы (цена их доступна покупателям с различным уровнем доходов) полезны для здоровья, заговорили и врачи. Они отмечают, что регулярные физические упражнения на джамперах укрепляют сердечнососудистую систему, развивают организм и совершенствуют тело в целом, положительно влияют на общее состояние кожных покровов, способствуют снижению лишнего веса.

Подсчитано, что за 30 минут можно расходовать от 600 до 1000 ккал, что позволяет на протяжении 2 недель сбросить 7-8 кг лишнего веса. С их помощью даже корректируют осанку: при пользовании устройств активизируется деятельность всего мышечного аппарата человека (участвует спина и грудная клетка, живот и руки), способствуя ускорению метаболических (обмен веществ) процессов в организме.

Джамперы – щадящий суставы тренажер, так как в их конструкциях использованы амортизирующие пружины. Они уменьшают силу толчков и ударов, снижают нагрузки на организм (суставы, связки и сам позвоночник). При этом, сравнивая тренировки на джамперах и обычный бег, врачи отмечают, что первые в пять раз эффективнее: для укрепления мускулатуры всего тела достаточно нескольких недель регулярных тренировок. Подходит экстремальные аттракционы и для занятий фитнесом.

В Китае человек в джамперах – довольно привычное явление. Нужно отметить, что спортсмен может сам устанавливать и корректировать интенсивность нагрузок, продолжительность и периодичность занятий.

описание взято с сайта

Постановка задачи

  • Разобраться в строении джампера
  • Сделать математическую модель
    • Определить, какая оптимальная упругость пружины для каждого веса
    • Определить, какие материалы лучше всего использовать
  • Сделать анализ рынка материалов, пригодных для построения прототипа
  • Построить джамперы по разработанной модели

Общие сведения по теме

Постановка задачи:

  • Дано:
    • [math]m[/math] – масса пользователя;
    • [math]l_0[/math] – начальная длина пружины;
  • Найти:
    • [math]c[/math] – жесткость пружины оптимально подходящую под вес пользователя;
    • [math]h[/math] – высота прыжка (считая от [math]l_0[/math] – высоты распрямленной пружины (без нагрузки);
    • [math]t_p[/math] – время полета.

Считаем, что оптимальные параметры – чем выше прыжок (время полета больше), тем лучше.

  • Начальные условия:
    • [math]x(0) = (l_0 - \xi_{max})[/math] – координата в начальный момент времени, где [math]\xi_{max}[/math] – максимальное сжатие пружины;
    • [math]\dot x(0) = 0[/math] – скорость в начальном положении [math]0[/math];


В задаче рассматриваем две части движения:

  • Пружина касается земли, т.е. действует сила упругости
    • Исходное уравнение (1): [math]m \ddot x \ =\ c(l_0 - x) - mg[/math]
  • Пружина не касается земли, т.е. тело находится в полете
    • Исходное уравнение (2): [math]mx^{\prime\prime} \ =\ - mg[/math]

Решение

  • Решая исходное уравнение (1) получаем решение вида:

[math]x = c_1cos\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right) + c_2sin\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right) + \frac{cl_0 - mg}{c}[/math]
И по задаче Коши высчитываем окончательное уравнение:
[math]x(t) = {\left(\frac{mg}{c} - \xi_{max}\right)}cos\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right) + \frac{cl_0 - mg}{c}[/math]

  • Рассмотрим задачу Коши для задачи (2) (пружина не касается земли)

Уравнение скорости в задаче (1) имеет вид: [math]{\dot x(t)} = {\xi_{max}\left(\frac{mg}{c}\right)}sin\left({\sqrt{\frac{c}{m}}}t\right)[/math]
Когда пружина полностью распрямилась ([math]x = l_0[/math]),мы получаем начальное условие для задачи (2). Отсюда выражаем [math]t_r[/math] – время распрямления пружины: [math]t_r = {\sqrt{\frac{m}{c}}}arccos\left(\frac{mg}{mg - c\xi_{max}}\right)[/math]
Подставляем найденное время в уравнение скорости и получаем скорость в начальный момент в задаче (2): [math]V_0 = \left(\xi_{max} - \left(\frac{mg}{c}\right)\right){\sin\left({\arccos{\left(\frac{mg}{mg - c\xi_{max}}\right)}}\right)}[/math]

  • Зная начальную скорость в начальный момент времени задачи (2) можем высчитать:
    • [math]h = \left(\frac{V_0^2}{2g}\right)[/math] – высоту подъема
    • [math]t_p = \left(\frac{2V_0}{g}\right)[/math] – время полета
  • Из решения видно, что единственная неизвестная [math]\xi_{max}[/math] – максимальное сжатие пружины.

Найдем ее, решая задачу:
Тело массы [math]m[/math] абсолютно неупруго падает на пружину жесткости [math]c[/math] с высоты [math]h = \left(\frac{V_0^2}{2g}\right)[/math]. Найти максимальное сжатие пружины.

Ответ:
[math]\xi_{max} = \left(\frac{mg + {\sqrt{(mg)^2 - 2mg(l_0 - h)c}}}{c}\right)[/math]

Обсуждение результатов и выводы

  • Получены формулы для решения задачи (2) (тело находится в полете – нет силы упругости);
  • Получены промежуточные формулы для решения задачи (1);
  • Проект находится на стадии разработки: в результате объемных выводов и выражений разных неизвестных величин пока не удалось получить окончательную формулу для вычисления необходимой жесткости пружины;
  • Проект будет продолжен в следующем семестре
    • Планируется усложнить расчеты доведя модель до типа джамперов, представленных на рынке;
    • Планируется построить каждую модель физически - полноценную либо прототип.

Ссылки по теме

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Джамперы&oldid=19836»