Веренинов Игорь. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м (→‎Обсуждение результатов и выводы)
 
(не показано 13 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Тема проекта ==
 
== Тема проекта ==
 +
 +
Расчет траектории схода спутника с геостационарной орбиты.
  
 
== Постановка задачи ==
 
== Постановка задачи ==
 +
 +
Задача связана с решение проблемы космического мусора:  множество спутников, выработавовших свой ресурс, вращаются по орбите представляя опасность для других  аппаратов. Требуется рассчитать по какой траектории должен лететь спутник, чтобы попасть в атмосферу и какая энергия требуется для торможения.
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
[[Файл:Untitled drawing (1).jpg |500px]]
 +
 +
Составим соотношение скоростей при движении по эллиптической траектории. Скорость всегда направлена по касательной к пути, обозначим за <math>\gamma</math> угол между скоростью и радиус-вектором из фокуса.
 +
 +
<math>V\sin\gamma =\omega r \mid\cdot r</math>
 +
 +
По 2-ому закону Кепплера, площадь отсекаемая радиус-вектором за единицу времени постоянна.
 +
 +
<math>rV\sin\gamma =\omega r^2=const</math>
 +
 +
<math>r_{1}V_{1}\sin\gamma_{1} =r_{2}V_{2}\sin\gamma_{2} </math>
 +
 +
В точках А и В
 +
 +
<math>\sin\gamma_{1}=\sin\gamma_{2}=1</math>
 +
 +
<math>V_{2}=\frac{R_{1}V_{1}}{R_{2}} </math> 
 +
 +
Подставляем в закон сохранения энергии
 +
 +
<math>V_{1}^2-\frac{R_{1}^2V_{1}^2}{R_{2}^2}=2GM\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right )</math>
 +
 +
Получаем скорость, которую должно иметь тело в точке А для попадания в В
 +
 +
<math> V_{1}=\sqrt{2GM} \sqrt{\frac{R_{2}}{R_{1}(R_{2}+R_{1})}}</math>
 +
 +
 +
<math> \sqrt{2GM}=2.8238*10^7 m^3s^{-2} </math>
 +
 +
Скорость тела на геостационарной орбите
 +
 +
<math> V_{orbit}=\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}} </math>
 +
 +
Теперь рассчитаем затраты энергии на совершение торможения.
 +
 +
<math> E=\frac{mV_{\delta}^2}{2}  </math>
 +
 +
<math> V_{\delta}=\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}} - \sqrt{\frac{2GMR_{2}}{R_{1}(R_{2}+R_{1})}} </math>
 +
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 +
 +
В приведенные формулы были подставлены значения для спутника вращающегося на 300 км орбите и имеющего массу 10 кг. Для того чтобы его траектория прошла через атмосферу потребовалось бы 46330 Дж, Потребовалось бы снизить скорость на 110 м/c.
 +
 +
Таблица энергоемкости различного топлива
 +
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! Топливо
 +
! Энергоемкость
 +
 +
|-
 +
|Ядерное топливо
 +
|8E+13 Дж/кг
 +
 +
|-
 +
|Жидкое топливо (бензин+кислород)
 +
| 1E+7 Дж/кг
 +
 +
|-
 +
|Бездымный порох
 +
|4Е+6 Дж/кг
 +
 +
|}
  
 
== Ссылки по теме ==  
 
== Ссылки по теме ==  
 +
 +
[http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/kepler.html Законы Кепплера]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 19:57, 4 марта 2013

Тема проекта[править]

Расчет траектории схода спутника с геостационарной орбиты.

Постановка задачи[править]

Задача связана с решение проблемы космического мусора: множество спутников, выработавовших свой ресурс, вращаются по орбите представляя опасность для других аппаратов. Требуется рассчитать по какой траектории должен лететь спутник, чтобы попасть в атмосферу и какая энергия требуется для торможения.

Решение[править]

Untitled drawing (1).jpg

Составим соотношение скоростей при движении по эллиптической траектории. Скорость всегда направлена по касательной к пути, обозначим за [math]\gamma[/math] угол между скоростью и радиус-вектором из фокуса.

[math]V\sin\gamma =\omega r \mid\cdot r[/math]

По 2-ому закону Кепплера, площадь отсекаемая радиус-вектором за единицу времени постоянна.

[math]rV\sin\gamma =\omega r^2=const[/math]

[math]r_{1}V_{1}\sin\gamma_{1} =r_{2}V_{2}\sin\gamma_{2} [/math]

В точках А и В

[math]\sin\gamma_{1}=\sin\gamma_{2}=1[/math]

[math]V_{2}=\frac{R_{1}V_{1}}{R_{2}} [/math]

Подставляем в закон сохранения энергии

[math]V_{1}^2-\frac{R_{1}^2V_{1}^2}{R_{2}^2}=2GM\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right )[/math]

Получаем скорость, которую должно иметь тело в точке А для попадания в В

[math] V_{1}=\sqrt{2GM} \sqrt{\frac{R_{2}}{R_{1}(R_{2}+R_{1})}}[/math]


[math] \sqrt{2GM}=2.8238*10^7 m^3s^{-2} [/math]

Скорость тела на геостационарной орбите

[math] V_{orbit}=\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}} [/math]

Теперь рассчитаем затраты энергии на совершение торможения.

[math] E=\frac{mV_{\delta}^2}{2} [/math]

[math] V_{\delta}=\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}} - \sqrt{\frac{2GMR_{2}}{R_{1}(R_{2}+R_{1})}} [/math]


Обсуждение результатов и выводы[править]

В приведенные формулы были подставлены значения для спутника вращающегося на 300 км орбите и имеющего массу 10 кг. Для того чтобы его траектория прошла через атмосферу потребовалось бы 46330 Дж, Потребовалось бы снизить скорость на 110 м/c.

Таблица энергоемкости различного топлива

Топливо Энергоемкость
Ядерное топливо 8E+13 Дж/кг
Жидкое топливо (бензин+кислород) 1E+7 Дж/кг
Бездымный порох 4Е+6 Дж/кг

Ссылки по теме[править]

Законы Кепплера

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Веренинов_Игорь._Курсовой_проект_по_теоретической_механике&oldid=18089»