Веренинов Игорь. Курсовой проект по теоретической механике

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск

Тема проекта[править]

Расчет траектории схода спутника с геостационарной орбиты.

Постановка задачи[править]

Задача связана с решение проблемы космического мусора: множество спутников, выработавовших свой ресурс, вращаются по орбите представляя опасность для других аппаратов. Требуется рассчитать по какой траектории должен лететь спутник, чтобы попасть в атмосферу и какая энергия требуется для торможения.

Решение[править]

Untitled drawing (1).jpg

Составим соотношение скоростей при движении по эллиптической траектории. Скорость всегда направлена по касательной к пути, обозначим за $ \gamma $ угол между скоростью и радиус-вектором из фокуса.

$ V\sin\gamma =\omega r \mid\cdot r $

По 2-ому закону Кепплера, площадь отсекаемая радиус-вектором за единицу времени постоянна.

$ rV\sin\gamma =\omega r^2=const $

$ r_{1}V_{1}\sin\gamma_{1} =r_{2}V_{2}\sin\gamma_{2} $

В точках А и В

$ \sin\gamma_{1}=\sin\gamma_{2}=1 $

$ V_{2}=\frac{R_{1}V_{1}}{R_{2}} $

Подставляем в закон сохранения энергии

$ V_{1}^2-\frac{R_{1}^2V_{1}^2}{R_{2}^2}=2GM\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}} \right ) $

Получаем скорость, которую должно иметь тело в точке А для попадания в В

$ V_{1}=\sqrt{2GM} \sqrt{\frac{R_{2}}{R_{1}(R_{2}+R_{1})}} $


$ \sqrt{2GM}=2.8238*10^7 m^3s^{-2} $

Скорость тела на геостационарной орбите

$ V_{orbit}=\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}} $

Теперь рассчитаем затраты энергии на совершение торможения.

$ E=\frac{mV_{\delta}^2}{2} $

$ V_{\delta}=\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}} - \sqrt{\frac{2GMR_{2}}{R_{1}(R_{2}+R_{1})}} $


Обсуждение результатов и выводы[править]

В приведенные формулы были подставлены значения для спутника вращающегося на 300 км орбите и имеющего массу 10 кг. Для того чтобы его траектория прошла через атмосферу потребовалось бы 46330 Дж, Потребовалось бы снизить скорость на 110 м/c.

Таблица энергоемкости различного топлива

Топливо Энергоемкость
Ядерное топливо 8E+13 Дж/кг
Жидкое топливо (бензин+кислород) 1E+7 Дж/кг
Бездымный порох 4Е+6 Дж/кг

Ссылки по теме[править]

Законы Кепплера

См. также[править]