Кристалл:треугольная — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{| class="wikitable" |- | Кристаллическая решетка | треугольная |- | | |- | Размерность пространства: | ...»)
 
(→‎См. также)
 
(не показано 13 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
'''Связь между линейными упругими характеристиками треугольной кристаллической решетки на микро- и макроуровне'''
 +
 
{| class="wikitable"  
 
{| class="wikitable"  
 
|-
 
|-
Строка 14: Строка 16:
 
|-
 
|-
 
| Независимых жесткостей на макроуровне:  
 
| Независимых жесткостей на макроуровне:  
−
| 2
+
| 1 или 2
 
|-
 
|-
 
| Макроскопическая симметрия:  
 
| Макроскопическая симметрия:  
Строка 20: Строка 22:
 
|}
 
|}
  
−
== Характеристики упругости при двухпараметрических описаниях взаимодействия ==
+
== Характеристики упругости при различных двухпараметрических описаниях взаимодействия ==
  
 
{| class="wikitable"  
 
{| class="wikitable"  
 
|-
 
|-
−
| Характеристика  
+
|
−
| Силовое
+
! colspan="3"| Взаимодействие
−
| Моментное  
+
|-
−
| 3-частичное
+
! Характеристика <BR> упругости
 +
! [[Кристалл:треугольная:силовое:2|Силовое]]
 +
! [[Кристалл:треугольная:моментное:1|Моментное]]
 +
! [[Кристалл:треугольная:3-частичное:1|3-частичное]]
 +
|-
 +
| <math>K</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt3}{2}\,(c_1+3c_2)</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}\,c_A</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}\,c</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>C_{11}</math>
 
| <math>C_{11}</math>
−
| \frac{3\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)
+
| <math>\frac{3\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)</math>
−
| \frac{\sqrt3}{4}\,(3c_A + c_D)  
+
| <math>\frac{\sqrt3}{4}\,(3c_A + c_D)</math>
−
| \frac{3\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 2\gamma\right)
+
| <math>\frac{3\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 2\gamma\right)</math>
 +
|-
 +
| <math>C_{12}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A-c_D)</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 - 6\gamma\right)</math>
 +
|-
 +
| <math>C_{44}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A+c_D)</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 6\gamma\right)</math>
 +
|-
 +
| <math>E</math>
 +
| <math>\frac{2\sqrt3}{3}\,(c_1+3c_2)</math>
 +
| <math>\frac{2\sqrt{3}}3\,c_A\,\frac{c_A + c_D}{c_A + c_D/3}</math>
 +
| <math>\frac{2\sqrt{3}}3\,c\,\frac{ca^2 + 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}</math>
 +
|-
 +
| <math>\nu</math>
 +
| <math>\frac 13</math>
 +
| <math>\frac13\,\frac{c_A - c_D}{c_A + c_D/3}</math>
 +
| <math>\frac13\,\frac{ca^2 - 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}</math>
 +
|-
 +
| Условия <BR> устойчивости
 +
| <math>c_1+3c_2 > 0</math>
 +
| <math>c_A > 0,</math> <BR> <math>c_A + c_D > 0</math>
 +
| <math>c > 0,</math> <BR> <math>ca^2 + 6\gamma > 0</math>
 
|}
 
|}
 +
[[Проверить!]]
  
  
−
Здесь <math>\lambda</math> и <math>\mu</math> - коэффициенты Ляме; <math>G</math> - модуль сдвига; <math>C_{kn}</math> - коэффициенты жесткости.
+
Здесь <math>K</math> - модуль объемного сжатия, <math>C_{kn}</math> - коэффициенты жесткости, <math>E</math> - модуль Юнга, <math>\nu</math> - коэффициент Пуассона;
  
−
В данном случае моментное взаимодействие эквивалентно [[Кристалл:треугольная:3-частичное:1|3-частичному]], соответствие устанавливается формулами
+
<math>c_1</math> и <math>c_2</math> - жесткости связи с атомами первой и второй координационных сфер (силовое взаимодействие); <math>c_A</math> и <math>c_D</math> - продольная и поперечная жесткости связи (моментное взаимодействие); <math>c</math> и <math>\gamma</math> - продольная и угловая жесткости связи (3-частичное взаимодействие); <math>a</math> - длина связи.
 +
 
 +
Коэффициенты Ляме <math>\lambda,</math> <math>\mu</math> и модуль сдвига <math>G</math>
 +
вычисляются по формулам
 +
 
 +
<math>   
 +
    \lambda = C_{12},\qquad
 +
    \mu = G = C_{44}.
 +
</math>
 +
 
 +
В силу изотропии линейных упругих свойств треугольной кристаллической решетки выполняется тождество
 +
<math>   
 +
    C_{44} = \frac12\,(C_{11}-C_{12}).
 +
</math>
 +
 
 +
Для треугольной кристаллической решетки [[Кристалл:треугольная:моментное:1|моментное]] взаимодействие эквивалентно [[Кристалл:треугольная:3-частичное:1|3-частичному]], соответствие устанавливается формулами
  
 
<math>     
 
<math>     
Строка 49: Строка 100:
 
*[[А.М. Кривцов]]. Теоретическая механика. [[Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов]]: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 126 c.
 
*[[А.М. Кривцов]]. Теоретическая механика. [[Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов]]: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 126 c.
  
−
== Ссылки ==
+
== См. также ==
 +
 
 +
*[[Треугольная кристаллическая решетка]]
 +
 
  
−
[[Проект "Кристалл"]]
+
[[Category: Проект "Кристалл"]]

Текущая версия на 00:50, 15 июня 2011

Связь между линейными упругими характеристиками треугольной кристаллической решетки на микро- и макроуровне

Кристаллическая решетка треугольная
Размерность пространства: 2
Атомов в ячейке: 1
Независимых жесткостей на макроуровне: 1 или 2
Макроскопическая симметрия: изотропия

Характеристики упругости при различных двухпараметрических описаниях взаимодействия[править]

Взаимодействие
Характеристика
упругости 		Силовое Моментное 3-частичное
[math]K[/math] [math]\frac{\sqrt3}{2}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{2}\,c_A[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{2}\,c[/math]
[math]C_{11}[/math] [math]\frac{3\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(3c_A + c_D)[/math] [math]\frac{3\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 2\gamma\right)[/math]
[math]C_{12}[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A-c_D)[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 - 6\gamma\right)[/math]
[math]C_{44}[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A+c_D)[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 6\gamma\right)[/math]
[math]E[/math] [math]\frac{2\sqrt3}{3}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{2\sqrt{3}}3\,c_A\,\frac{c_A + c_D}{c_A + c_D/3}[/math] [math]\frac{2\sqrt{3}}3\,c\,\frac{ca^2 + 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}[/math]
[math]\nu[/math] [math]\frac 13[/math] [math]\frac13\,\frac{c_A - c_D}{c_A + c_D/3}[/math] [math]\frac13\,\frac{ca^2 - 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}[/math]
Условия
устойчивости 		[math]c_1+3c_2 \gt 0[/math] [math]c_A \gt 0,[/math]
[math]c_A + c_D \gt 0[/math] 		[math]c \gt 0,[/math]
[math]ca^2 + 6\gamma \gt 0[/math]

Проверить!


Здесь [math]K[/math] - модуль объемного сжатия, [math]C_{kn}[/math] - коэффициенты жесткости, [math]E[/math] - модуль Юнга, [math]\nu[/math] - коэффициент Пуассона;

[math]c_1[/math] и [math]c_2[/math] - жесткости связи с атомами первой и второй координационных сфер (силовое взаимодействие); [math]c_A[/math] и [math]c_D[/math] - продольная и поперечная жесткости связи (моментное взаимодействие); [math]c[/math] и [math]\gamma[/math] - продольная и угловая жесткости связи (3-частичное взаимодействие); [math]a[/math] - длина связи.

Коэффициенты Ляме [math]\lambda,[/math] [math]\mu[/math] и модуль сдвига [math]G[/math] вычисляются по формулам

[math] \lambda = C_{12},\qquad \mu = G = C_{44}. [/math]

В силу изотропии линейных упругих свойств треугольной кристаллической решетки выполняется тождество [math] C_{44} = \frac12\,(C_{11}-C_{12}). [/math]

Для треугольной кристаллической решетки моментное взаимодействие эквивалентно 3-частичному, соответствие устанавливается формулами

[math] c_A = c \,,\qquad c_D = 6\gamma/a^2. [/math]

Литература[править]

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Кристалл:треугольная&oldid=1398»