Редактирование: Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 7: | Строка 7: | ||
* статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода<br> | * статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода<br> | ||
* динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге<br> | * динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге<br> | ||
− | В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель | + | В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель лука. Интересующей нас величиной является дальность полета стрелы. Задачей является выведение и последующее рассмотрение зависимости этой дальности от вышеуказанных параметров конструкции лука.<br> |
'''Конкретизация:'''<br> | '''Конкретизация:'''<br> | ||
Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.<br> | Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.<br> | ||
Строка 20: | Строка 20: | ||
Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в ''кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о "полочку".''<br> | Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в ''кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о "полочку".''<br> | ||
Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:<br> | Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:<br> | ||
− | <math>\eta = \frac{T}{U} | + | <math>\eta = \frac{T}{U}</math>*100%<br> |
Кинетическая энергия снаряда T:<br> | Кинетическая энергия снаряда T:<br> | ||
<math>T = \frac{mv_0^2}{2} </math><br> | <math>T = \frac{mv_0^2}{2} </math><br> | ||
Рассмотрим зависимость <math>\eta \sim m</math>:<br> | Рассмотрим зависимость <math>\eta \sim m</math>:<br> | ||
- если m очень мало, то выстрел "как бы холостой" <math>\Rightarrow \eta</math> мало;<br> | - если m очень мало, то выстрел "как бы холостой" <math>\Rightarrow \eta</math> мало;<br> | ||
− | - если m слишком велико, то уменьшается ускорение, сообщаемое стреле, увеличивается отдача лука, увеличивается сила трения <math>\Rightarrow | + | - если m слишком велико, то уменьшается ускорение, сообщаемое стреле, увеличивается отдача лука, увеличивается сила трения <math>\Rightarrow T \searrow \Rightarrow \eta \searrow</math><br> |
Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% - 85%<br> | Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% - 85%<br> | ||
Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до "упора"), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 - 80 м/с.<br> | Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до "упора"), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 - 80 м/с.<br> | ||
'''Мощность лука'''<br> | '''Мощность лука'''<br> | ||
− | <math>P | + | <math>P = \frac{U}{t}</math>, <math>P \sim \frac{1}{t}, \frac{1}{m}</math><br> |
− | Так, для того, чтобы <math>P \searrow</math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow, | + | Так, для того, чтобы <math>P \searrow</math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow, m \searrow</math><br> |
− | Для того, чтобы <math>v_0 \ | + | Для того, чтобы <math>v_0 \nwarrow </math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow \Rightarrow l \searrow, m \searrow</math>, но при этом масса стрелы не должна быть слишком мала. Опыты показывают, что ее величина должна составлять 15 - 40 г<br> |
'''Баллистика'''<br> | '''Баллистика'''<br> | ||
Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.<br> | Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.<br> | ||
Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):<br> | Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):<br> | ||
− | Пусть известны следующие величины: <math>v_0 | + | Пусть известны следующие величины: <math>v_0 = 800</math>м/с - скорость пули, <math>v_1 = 80</math>м/с - скорость стрелы, расстояние s = 200 м<br> |
− | Время полета пули:<math>t | + | Время полета пули:<math>t = \frac{200}{800} = \frac{1}{4}</math> с, время полета стрелы: <math>t = \frac{200}{80} = \frac{5}{2}</math> с<br> |
− | <math>h | + | <math>h = \frac{gt^2}{2} </math>, высота, на которую пуля окажется ниже мишени, составит <math>h = \frac{10}{32} = 0.3125</math>м<br> |
Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не "войдет в землю" и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.<br> | Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не "войдет в землю" и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.<br> | ||
− | Высота же, на которую стрела окажется ниже мишени составит: <math>h = \frac{250}{82} = 31.25 | + | Высота же, на которую стрела окажется ниже мишени составит: <math>h = \frac{250}{82} = 31.25</math>м, откуда сразу же видно, что, учитывая высоту стрелка, пуля войдет в землю и не достигнет мишени.<br> |
'''Факторы стрельбы''' | '''Факторы стрельбы''' | ||
− | *дальность стрельбы (450 м - рекорд для спортивных луков);<br> | + | *дальность стрельбы (450 м. - рекорд для спортивных луков);<br> |
− | *дальность поражения (60 - 80 м для поражения защищенного доспехами человека, | + | *дальность поражения (60 - 80 м для поражения защищенного доспехами человека, 250 - 180 м для незащищенного человека)<br> |
Существует эффективная прицельная дальность стрельбы - дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 - 40 м)<br> | Существует эффективная прицельная дальность стрельбы - дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 - 40 м)<br> | ||
'''Поправки'''<br> | '''Поправки'''<br> | ||
Строка 50: | Строка 50: | ||
Пусть скорость ветра <math>v_0 \approx 1</math> м/с, скорость стрелы <math>v_1 \approx 80</math> м/с, пусть скорость ветра перпендикулярна начальной скорости стрелы<br> | Пусть скорость ветра <math>v_0 \approx 1</math> м/с, скорость стрелы <math>v_1 \approx 80</math> м/с, пусть скорость ветра перпендикулярна начальной скорости стрелы<br> | ||
Рассмотрим дистанцию в 40 м<br> | Рассмотрим дистанцию в 40 м<br> | ||
− | <math> | + | tg<math>\alpha = \frac{1}{80} = \frac{h}{40} \Rightarrow h = \frac{40}{80} = 0.5 </math>, где h - смещение<br> |
== Решение == | == Решение == | ||
− | + | Рассмотрим следующую модификацию лука:плечи приняты за стрежни, между ними находится пружина, тетива рассматривается как нерастяжимая нить.<br> | |
'''От каких параметров зависит силовая характеристика лука?'''<br> | '''От каких параметров зависит силовая характеристика лука?'''<br> | ||
− | <math>M | + | <math>M = \gamma*\varphi\triangle</math><br> |
− | <math>T*h | + | <math>T*h = M = \gamma*\triangle\varphi</math><br> |
− | <math>T | + | <math>T = \gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}</math><br> |
− | <math>F | + | <math>F = 2*T*\cos\beta</math> = 2*<math>\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math><br> |
'''Геометрия'''<br> | '''Геометрия'''<br> | ||
− | + | *Найдем <math>\angle\beta</math>, а точнее <math>\cos\beta</math>:<br> | |
− | + | По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что <math>\cos\beta = \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}*(\triangle x + x_0)}</math><br> | |
− | |||
− | |||
− | *Найдем <math>\angle\beta</math>, а точнее | ||
− | По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что <math>\cos\beta | ||
*Найдем h - плечо силы натяжения тетивы:<br> | *Найдем h - плечо силы натяжения тетивы:<br> | ||
− | <math>h | + | <math>h = (\triangle x + x_0)\sin\beta \Rightarrow h = \frac{\sqrt{4(l^2 - x_0^2)^2*(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x^2 + 2\triangle xx_0)^2}}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}}</math><br> |
*Найдем <math>\triangle \varphi</math>:<br> | *Найдем <math>\triangle \varphi</math>:<br> | ||
− | + | <math>\varphi = \chi - \gamma = 2*(\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0)))</math><br> | |
− | |||
− | |||
− | <math>\varphi | ||
*Найдем <math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math>:<br> | *Найдем <math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math>:<br> | ||
− | <math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta | + | <math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta = \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{(\triangle x + x_0)\sqrt{4(l^2 - x_0^2)(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x + 2\triangle xx_0)^2}}*2\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0))</math><br> |
'''Нахождение силовой характеристики лука'''<br> | '''Нахождение силовой характеристики лука'''<br> | ||
− | <math>F = F(\triangle x) | + | <math>F = F(\triangle x) = \frac{\partial F}{\partial 0}(0)\triangle x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0)(\triangle x)^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0)(\triangle x)^3</math><br> |
Проведенные расчеты показали, что | Проведенные расчеты показали, что | ||
− | <math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) | + | <math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) = 0 ;\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0) = 0</math><br> |
− | <math>\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) | + | <math>\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) = \frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} </math><br> |
− | Таким образом, <math>F(\triangle x) | + | Таким образом, <math>F(\triangle x) = \frac{1}{6}*\frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br> |
'''Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы'''<br> | '''Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы'''<br> | ||
''Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.''<br> | ''Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.''<br> | ||
*Этап натяжения тетивы<br> | *Этап натяжения тетивы<br> | ||
− | По второму закону Ньютона <math>F | + | По второму закону Ньютона <math>F = mw</math><br> |
− | С другой стороны | + | С другой стороны сила равна найденной величине: <math>F(\triangle x) = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br> |
Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:<br> | Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:<br> | ||
− | <math>w | + | <math>w = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br> |
− | <math>\triangle x | + | <math>\triangle x = \frac{1}{2}wt^2 + x_0 \Rightarrow w = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)</math><br> |
− | <math>v_0 | + | <math>v_0 = wt = w = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)*t</math><br> |
Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время). В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.<br> | Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время). В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.<br> | ||
− | <math>w | + | <math>w = \frac{2lx_0\sqrt{m}}{t^3\sqrt{\gamma}}</math><br> |
Тогда | Тогда | ||
− | <math>v_0 | + | <math>v_0 = \frac{2\sqrt{m}lx_0}{t^2\sqrt{\gamma}}</math><br> |
− | <math>t | + | <math>t = \frac{lx_0\sqrt{m}}{(\triangle x - x_0)\sqrt{\gamma}}</math><br> |
Тогда | Тогда | ||
− | <math>v_0 | + | <math>v_0 = \frac{2\sqrt{\gamma}(\triangle x- x_0)^2}{lx_0\sqrt{m}}</math><br> |
*Этап полета стрелы<br> | *Этап полета стрелы<br> | ||
− | <math>s | + | <math>s = v_0\cos\alpha*t</math><br> |
Найдем время полета стрелы.<br> | Найдем время полета стрелы.<br> | ||
− | <math>g | + | <math>g = \frac{v_0\sin\alpha}{t/2} \Rightarrow t = \frac{4sqrt{\gamma}(\triangle x- x_0)^2\sin\alpha}{lx_0sqrt{m}g}</math><br> |
− | <math>s | + | <math>s = v_0\cos\alpha\frac{4sqrt{\gamma}(\triangle x- x_0)^2\sin\alpha}{lx_0sqrt{m}g} = \frac{4\gamma(\triangle x- x_0)^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}</math><br> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | Одним из основных вопросов, влияющих на вычисления, было выявление характера зависимости прикладываемой к тетиве силы от смещения тетивы. Из ранее | + | Одним из основных вопросов, влияющих на вычисления, было выявление характера зависимости прикладываемой к тетиве силы от смещения тетивы. Из ранее приведенного опыта можно наглядно увидеть динамическую кривую (изображение данной характеристики на графике) лука, имеющегося в наличии, а также из проделанной работы по классификации различных модификаций обсуждаемого метательного оружия можно выделить для рассмотрения динамические кривые прямого лука, рекурсивного лука и современного блочного лука. Вычисления в рамках данной курсовой работы велись для наиболее простой модели лука. Полученная зависимость оказалось отнюдь нелинейной. Оказалось, что прикладываемая к тетиве сила зависит от куба величины смещения тетивы, от квадрата величины длины плеча лука, от квадрата величины начального смещения тетивы, обозначающего положение равновесия лука, от жесткости материала, из которого сделаны плечи лука.<br> |
− | |||
− | |||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |