Редактирование: Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] > [[Уравнение состояния Ми-Грюнайзена]]

[[Mie–Gruneisen equation of state | for English press here]]

== Основной источник ==

Материал данной статьи более подробно и полно изложен в публикации 
* [[Кривцов А.М.]], [[Кузькин В.А.]] '''Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры''' // ''[http://mtt.ipmnet.ru/ru/ Известия РАН. Механика твердого тела]''. 2011, № 3, c. 67-82. ([http://mtt.ipmnet.ru/ru/Issues.php?y=2011&n=3&p=67 Аннотация], скачать pdf: [[Медиа:Krivtsov_2011_MTT.pdf|499 Kb]])
:''English translation:'' Krivtsov A.M., Kuzkin V.A. '''Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure''' // ''Mech. Solids.'' 46 (3), 387-399 (2011) (Download pdf: [[Медиа:Krivtsov_2011_MechSol.pdf‎|529 Kb]])

== Уравнение состояния Ми-Грюнайзена ==
При больших давлениях и температурах принято представлять давление <math>p</math> в конденсированном веществе в виде суммы "холодной"  и "тепловой" компонент:

<math>p = p_0 + p_T, ~~~~ p_T = p - p_0</math>

Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии <math> E_T </math>:

<math>p = p_0(V) + p_T(V,E_T)</math>

Тепловая энергия - часть внутренней энергии твердого тела, обусловленная тепловым движением атомов. В первом приближении тепловая энергия равна <math> c_V T </math>. На практике часто предполагается линейная связь теплового давления и тепловой энергии: 

<math> p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T</math>

Данное уравнение называют '''уравнением состояния Ми-Грюнайзена''', а функцию  <math>\varGamma(V)</math> - '''функцией Грюнайзена'''. Значение <math> \varGamma_0 </math>функции Грюнайзена в недеформированном состоянии тела называют '''коэффициентом Грюнайзена'''. 

<math> \varGamma_0 = \varGamma(V_0)</math>

== Уравнение состояния для кристаллов простой структуры ==

<math>
    p_0 = \frac{1}{2V_0d\theta^d}\sum_{k=1}^n N_k\varPhi_k A_k^2,~~~~\varGamma = -\frac{\sum_{k=1}^n N_k((d+2)\varPhi'_k A_k^2 + 2\varPhi''_k A_k^4 )}{d\sum_{k=1}^n
    N_k (d\varPhi_k +2\varPhi'_k A_k^2)}
</math>

где <math>k</math> - номер координационной сферы, <math>n</math> - их число, <math>N_k</math> - число атомов на <math>k</math>-ой координационной сфере, <math> A_k = \rho_k R \theta</math> - радиус координационной сферы, <math> \rho_k=A_k/A_1 </math> - безразмерные константы решетки, <math>R</math> - радиус первой координационной сферы в отсчетном положении, <math>\varPhi^{(n)}_k = \varPhi^{(n)}(A_k^2)</math>.

== Холодная кривая для потенциалов Леннард-Джонса, Ми, Морзе ==

В случае учета только взаимодействий между ближайшими соседями холодная кривая имеет вид.

* '''Холодная кривая для потенциала Леннард-Джонса:'''
<math>
 \varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6})
</math>

* '''Холодная кривая для потенциала Ми:'''
<math>
   \varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~
   p_0 =\frac{m n MD}{2d(n-m)V_0\theta^{d}}\left(\theta^{-n}-\theta^{-m}\right)
</math>

* '''Холодная кривая для потенциала Морзе:'''
<math>
   \varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~
   p_0 = \frac{\alpha a MD}{d V_0\theta^{d-1}} \left[e^{2\alpha a(1-\theta)}-e^{\alpha a(1-\theta)}\right]
</math>

Здесь <math>D</math> - энергия связи, <math>a</math> - длина связи, <math>\alpha</math> - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; <math>m, n</math> - параметры потенциала Ми.

== Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннард-Джонса, Ми, Морзе == 

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности  <math>d</math> имеет вид:

<math>
    \varGamma_0 = -\frac{1}{2d}\frac{\varPi'''(a)a^2 + (d-1)\left[\varPi''(a)a - \varPi'(a)\right]}{\varPi''(a)a + (d-1)\varPi'(a)}
</math>

где <math>\Pi</math> - потенциал межатомного взаимодействия, <math>a</math> - равновесное расстояние, <math>d</math> - размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

{|class="wikitable"
|-
!решетка
!размерность пространства 
!Потенциал Леннард-Джонса
!Потенциал Ми
!Потенциал Морзе
|-
| Цепочка 
! <math> d=1 </math>
! <math>10\frac{1}{2} </math>
! <math>\frac{m+n+3}{2}</math>
! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math>
|-
| Треугольная решетка 
!<math>d=2 </math>
! <math>5</math>
! <math> \frac{m+n+2}{4}</math>
! <math> \frac{3\alpha a - 1}{4}</math>
|-
| ГЦК, ОЦК 
! <math>d=3 </math>
! <math>\frac{19}{6} </math>
! <math>\frac{n+m+1}{6}</math>
! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math>
|-
| "Гиперрешетка"
! <math>d=\infty</math>
! <math>-\frac{1}{2}</math>
! <math>-\frac{1}{2}</math>
! <math>-\frac{1}{2}</math>
|-
| Общая формула
! <math>d</math>
! <math>\frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math>
! <math>\frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}</math>
! <math>\frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}</math>
|-
|}

== Функция Грюнайзена для потенциалов Леннард-Джонса, Ми, Морзе == 

В случае учета только взаимодействий между ближайшими соседями функция Грюнайзена имеет вид.

* '''Функция Грюнайзена для потенциала Леннард-Джонса''':
<math>
  \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}.
</math>

* '''Функция Грюнайзена для потенциала Ми:'''
<math>
    \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}.
</math>

* '''Функция Грюнайзена для потенциала Морзе:'''
<math>
\varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a
\theta-d_1\right)-\left(\alpha^2 a^2\theta^2-d_1\alpha a\theta-d_1 \right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-d_1)
-(\alpha a\theta-d_1)},~~
</math>
<math>d_1 = d-1,~~</math> <math>\theta=(V/V_0)^{1/d}</math>

== Статьи ==

* [[Кривцов А.М.]], [[Кузькин В.А.]] '''Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры''' // [http://mtt.ipmnet.ru/ru/ ''Известия РАН. Механика твердого тела'']. 2011, № 3, c. 67-82. ([http://mtt.ipmnet.ru/ru/Issues.php?y=2011&n=3&p=67 Аннотация], скачать pdf: Рус. [[Медиа:Krivtsov_2011_MTT.pdf|499 Kb]], Eng. [[Медиа:Krivtsov_2011_MechSol.pdf‎|529 Kb]])

== Ссылки ==

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D0%B8_%E2%80%94_%D0%93%D1%80%D1%8E%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Статья про уравнение Ми-Грюнайзена в Википедии]

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Mie%E2%80%93Gruneisen_equation_of_state  Mie–Gruneisen equation of state]