Редактирование: Решение двумерного уравнения теплопроводности. Светличная Екатерина. 6 курс
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
==Цель== | ==Цель== | ||
| − | Реализовать численное решение | + | Реализовать численное решение одномерно уравнения теплопроводности. |
==Постановка задачи== | ==Постановка задачи== | ||
| − | + | Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке <math>\left[0\ldots L\right]</math> | |
| − | + | :<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = 0</math> | |
| − | |||
| − | Решается | ||
| − | |||
| − | < | ||
| − | <math>\frac{\partial | ||
| − | |||
С граничными условиями | С граничными условиями | ||
:<math> \begin{cases} | :<math> \begin{cases} | ||
| − | T( | + | T(0,t) = T_0 \\ |
| − | + | T(L,t) = T_1 | |
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
И начальным распределением температуры | И начальным распределением температуры | ||
| − | :<math>T(x | + | :<math>T(x,t) = T_s</math> |
==Конечно-разностная схема== | ==Конечно-разностная схема== | ||
| − | Задача содержит производную по времени первого порядка и | + | Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. |
| − | Запишем | + | Запишем исходное уравнение в виде |
| + | :<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math> | ||
| − | + | Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math> | |
| + | Построим явную конечно-разностную схему: | ||
| + | :<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math> | ||
| + | Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле. | ||
==Компьютерная реализация== | ==Компьютерная реализация== | ||
| − | Компьютерную реализацию программы можно найти в [[File: | + | Компьютерную реализацию программы можно найти в [[File:SAD_HeatConductivity.7z|архиве]] |
==Результаты== | ==Результаты== | ||
| Строка 34: | Строка 32: | ||
|- | |- | ||
|1 | |1 | ||
| − | |5. | + | |184.2 |
| + | |- | ||
| + | |2 | ||
| + | |91.6 | ||
| + | |- | ||
| + | |5 | ||
| + | |39.4 | ||
| + | |- | ||
| + | |10 | ||
| + | |19.2 | ||
|- | |- | ||
| − | | | + | |20 |
| − | | | + | |9.9 |
|- | |- | ||
| − | | | + | |30 |
| − | | | + | |8.1 |
|- | |- | ||
| − | + | |40 | |
| + | |7.5 | ||
|} | |} | ||
==Выводы== | ==Выводы== | ||
| − | * | + | * Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы увеличивается. |
| − | * При увеличении числа процессоров | + | * При увеличении числа процессоров относительный выигрыш во времени уменьшается. |
