Редактирование: Расхождение интегральной суммы Римана
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Кафедра ТМ]] > [[Интересные ссылки]] > [[Занимательная математика]] > ''Интегральная сумма''<HR> | [[Кафедра ТМ]] > [[Интересные ссылки]] > [[Занимательная математика]] > ''Интегральная сумма''<HR> | ||
| + | Интегральная сумма Римана часто используется для аппроксимации конечной суммы интегралом. Однако, такая аппроксимация может приводить к ошибкам. Рассмотрим сумму и ее интегральное представление: | ||
| − | + | <math> | |
| − | |||
| − | |||
\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sin^2\bigl(\frac{k}{N} t\bigr)}{\bigl(\frac{k}{N}\bigr)^2} | \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sin^2\bigl(\frac{k}{N} t\bigr)}{\bigl(\frac{k}{N}\bigr)^2} | ||
\simeq \int_0^{1} \frac{\sin^2(x t)}{x^2}\,d x | \simeq \int_0^{1} \frac{\sin^2(x t)}{x^2}\,d x | ||
.</math> | .</math> | ||
| − | + | Естественно ожидать, что интеграл будет хорошо приближать сумму при больших <math>N</math>. Однако, это не так. При $t=0$ сумма и интеграл равны нулю. Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то интеграл --- монотонно возрастающая функция~<math>t</math>. Сумма же, очевидно, обращается в ноль при <math>t=\pi N</math>. Кроме того, сумма --- периодическая функция с периодом <math>\pi N</math>. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение? | |
| − | + | [[Участник:Антон Кривцов|Антон Кривцов]] ([[Обсуждение участника:Антон Кривцов|обсуждение]]) 00:05, 28 марта 2016 (MSK) | |
| − | [[Участник:Антон Кривцов|Антон Кривцов]] 28 марта 2016 | ||
