Редактирование: Модели Фоккера-Планка
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | Основной недостаток изотермических сфер состоит в том, что они бесконечны. Если бы не этот факт, то как простые модели они могли бы очень хорошо представлять реальные системы. | |
− | |||
Основным их достоинством является максвеловское распределение скоростей, поскольку именно такое распределение характеризует прорелаксировавшие системы. | Основным их достоинством является максвеловское распределение скоростей, поскольку именно такое распределение характеризует прорелаксировавшие системы. | ||
− | Для того, чтобы сделать сферу конечной, можно ввести свойственную конечным системам скорость убегания. Скорость убегания на границе изолированной системы зависит только '''от её полной массы <math>M</math> и радиуса <math>R</math>'''. Внутри системы локальная скорость убегания, т.е. скорость, необходимая для того, чтобы находящейся в некоторой внутренней точке <math>r</math> объект мог покинуть систему будет зависеть от локального значения гравитационного потенциала <math> | + | Для того, чтобы сделать сферу конечной, можно ввести свойственную конечным системам скорость убегания. Скорость убегания на границе изолированной системы зависит только '''от её полной массы <math>M</math> и радиуса <math>R</math>'''. Внутри системы локальная скорость убегания, т.е. скорость, необходимая для того, чтобы находящейся в некоторой внутренней точке <math>r</math> объект мог покинуть систему будет зависеть от локального значения гравитационного потенциала <math>Phi(r)</math>. Поэтому в области значений <math>v>v_e</math>функция распределения <math>f(r,v,t)</math> очень близка к нулю (<math>v_e</math> значение скорости убегания). |
При этих условиях можно сделать интуитивное предположение о характере распределения скоростей. Это предположение оказывается верным в данной модели и его можно доказать более строго (см. Саслоу "Грав. физика звёздных и галакт. систем"). | При этих условиях можно сделать интуитивное предположение о характере распределения скоростей. Это предположение оказывается верным в данной модели и его можно доказать более строго (см. Саслоу "Грав. физика звёздных и галакт. систем"). | ||
Строка 9: | Строка 8: | ||
<math>(1):f(v)=A(e^{-j^2 v^2}-B)</math>, | <math>(1):f(v)=A(e^{-j^2 v^2}-B)</math>, | ||
− | где <math>A</math> и <math>B</math> константы, <math>j</math>-коэффециент дисперсии. С физической точки зрения <math>f(v)=0</math> при <math>e^{-j^2 v^2} | + | где <math>A</math> и <math>B</math> константы, <math>j</math>-коэффециент дисперсии. С физической точки зрения <math>f(v)=0</math> при <math>e^{-j^2 v^2} le B</math>, и для того, чтобы это выполнялось, необходимо, чтобы <math>B=e^{-j^2 v_e^2}</math>. Константу <math>A</math> можно получить, производя нормировку таким образом, чтобы <math>f(v)=1</math> при наиболее вероятном значении скорости <math>v=0</math>. |
В результате имеем: | В результате имеем: | ||
Строка 35: | Строка 34: | ||
Чтобы получить однозначно <math>\rho(r)</math> нужно воспользоваться уравнением Пуассона | Чтобы получить однозначно <math>\rho(r)</math> нужно воспользоваться уравнением Пуассона | ||
− | <math>\frac{d^2 \Phi}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{d\Phi}{dr}=4\pi G\rho(\Phi)</math> | + | <math>(7): \frac{d^2 \Phi}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{d\Phi}{dr}=4\pi G\rho(\Phi)</math> |
− | + | Потенциал во внутренней точке массивной сферы определяется выражением | |
− | <math>( | + | <math>(8): \Phi(r)=\frac{Gm(r)}{r}+4\pi G \int_r^R \rho(r') r' dr'</math>, |
− | + | где <math>m(r)=\frac{4}{3} \pi \int_0^r r^3 \rho(r)dr</math> -масса вложенной сферы сферы радиуса <math>r</math>. | |
− | <math> | + | Потенциал на границе шара <math>r \to R</math> |
− | + | <math>(9):\Phi(R)=\frac{GM}{R}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Потенциал в центре <math>r \to 0</math> | Потенциал в центре <math>r \to 0</math> | ||
− | <math>(10): \Phi(0)=4\pi G \int_0^R \rho(r) r dr | + | <math>(10): \Phi(0)=4\pi G \int_0^R \rho(r) r dr</math>, |
− | |||
− | |||
− | + | а если учесть, что <math>\Phi(R)=0</math> | |
− | = | + | <math>(11): \Phi(0)=4\pi G \int_0^R \rho(r) r dr-\frac{GM}{R}</math>. |
− | Найдём значение плотности в центре шара. Из | + | Найдём значение плотности в центре шара. Из (6) имеем |
− | <math>( | + | <math>(12): \rho(0)=4\pi A \int_0^{v_e} (e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2})v^2 dv</math> |
Основную трудность здесь представляет интеграл | Основную трудность здесь представляет интеграл | ||
Строка 69: | Строка 62: | ||
<math>\int_0^{v_e} e^{-j^2 v^2}v^2 dv</math>, | <math>\int_0^{v_e} e^{-j^2 v^2}v^2 dv</math>, | ||
− | + | который в элементарных функциях не берётся. Поэтому найдём его приближённое значение. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math>\int_0^{v_e} e^{-j^2 v^2}v^2 dv=\int_0^{v_e}\left(v^2-j^2 v^4 + \frac{1}{2}j^4 v^6+... \right)=\frac{1}{3}v_e^3-\frac{1}{5}j^2 v_e^5 + \frac{1}{14}j^4 v_e^7+O(v^8)</math> | |
− | + | Отсюда (12) есть | |
− | <math> | + | <math>\rho(0)\simeq 4\pi\left(\frac{1}{3}v_e^3-\frac{1}{5}j^2 v_e^5 + \frac{1}{14}j^4 v_e^7\right)-4\pi\left( \frac{v_e e^{-j^2 v_e^2}}{1-e^{-j^2 v_e^2}}\right)</math> |