Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | ==Скорость убегания для изотермических систем==
| + | Основной недостаток изотермических сфер состоит в том, что они бесконечны. Если бы не этот факт, то как простые модели они могли бы очень хорошо представлять реальные системы. |
− | Одним из недостатков изотермических сфер состоит в том, что они бесконечны. Если бы не этот факт, то как простые модели они могли бы очень хорошо представлять реальные системы.
| |
| Основным их достоинством является максвеловское распределение скоростей, поскольку именно такое распределение характеризует прорелаксировавшие системы. | | Основным их достоинством является максвеловское распределение скоростей, поскольку именно такое распределение характеризует прорелаксировавшие системы. |
− | Для того, чтобы сделать сферу конечной, можно ввести свойственную конечным системам скорость убегания. Скорость убегания на границе изолированной системы зависит только '''от её полной массы <math>M</math> и радиуса <math>R</math>'''. Внутри системы локальная скорость убегания, т.е. скорость, необходимая для того, чтобы находящейся в некоторой внутренней точке <math>r</math> объект мог покинуть систему будет зависеть от локального значения гравитационного потенциала <math>\Phi(r)</math>. Поэтому в области значений <math>v>v_e</math>функция распределения <math>f(r,v,t)</math> очень близка к нулю (<math>v_e</math> значение скорости убегания). | + | Для того, чтобы сделать сферу конечной, можно ввести свойственную конечным системам скорость убегания. Скорость убегания на границе изолированной системы зависит только '''от её полной массы <math>M</math> и радиуса <math>R</math>'''. Внутри системы локальная скорость убегания, т.е. скорость, необходимая для того, чтобы находящейся в некоторой внутренней точке <math>r</math> объект мог покинуть систему будет зависеть от локального значения гравитационного потенциала. Поэтому в области значений <math>v>v_e</math>функция распределения <math>f(r,v,t)</math> очень близка к нулю (<math>v_e</math> значение скорости убегания). |
| | | |
− | При этих условиях можно сделать интуитивное предположение о характере распределения скоростей. Это предположение оказывается верным в данной модели и его можно доказать более строго (см. Саслоу "Грав. физика звёздных и галакт. систем"). | + | При этих условиях можно сделать интуитивное предположение о характере распределения скоростей. Это предположение оказывается верным в данной модели и его можно доказать более строго. |
| Усечённая функция распределения Максвелла имеет вид: | | Усечённая функция распределения Максвелла имеет вид: |
| | | |
− | <math>(1):f(v)=A(e^{-j^2 v^2}-B)</math>,
| |
| | | |
− | где <math>A</math> и <math>B</math> константы, <math>j</math>-коэффециент дисперсии. С физической точки зрения <math>f(v)=0</math> при <math>e^{-j^2 v^2} \le B</math>, и для того, чтобы это выполнялось, необходимо, чтобы <math>B=e^{-j^2 v_e^2}</math>. Константу <math>A</math> можно получить, производя нормировку таким образом, чтобы <math>f(v)=1</math> при наиболее вероятном значении скорости <math>v=0</math>.
| + | <math>(1):f(v)=A(e^{-j^2 v^2}-B)</math> |
− | | |
− | В результате имеем:
| |
− | | |
− | <math>(2): f(v)=A\cdot(e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2})=\frac{e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2}}{1-e^{-j^2 v_e^2}}</math>
| |
− | | |
− | Частица покинет пределы скопления, если её скорость превзойдёт значение <math>v_e</math>, которое зависит от положения в скоплении. Эта зависимость от радиуса войдёт и в функцию <math>f(r,v)</math>. Энергия отдельной частицы:
| |
− | | |
− | <math>(3): E=\frac{1}{2}v^2+\Phi(r)</math>
| |
− | | |
− | Теперь оказывается удобным положить потенциал <math>\Phi(r)</math> равным нулю на поверхности скопления, а не на бесконечности. При таком определении частица с нулевой полной энергией едва достигнет этой поверхности. Таким образом скорость убегания определяется равенством
| |
− | | |
− | <math>(4): v_e^2=-2\Phi(r)</math>
| |
− | | |
− | Подставляя значения скорости из уравнения (3) и скорости убегания из уравнения (4) в (2) можно получить уравнение функции распределения для любого радиуса
| |
− | | |
− | <math>(5): f(r,v)=A e^{-2j^2(\Phi(r)-\Phi(0))}\cdot (e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2})</math>
| |
− | | |
− | Интегрируя функцию распределения по скоростям получаем плотность
| |
− | | |
− | <math>(6): \rho(r)=\int_0^{v_e} f(r,v)4\pi v^2 dv=4\pi A e^{-2j^2(\Phi(r)-\Phi(0))}\int_0^{v_e} (e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2})v^2 dv</math>
| |
− | | |
− | как функцию потенциала <math>\Phi(r)</math>
| |
− | | |
− | Чтобы получить однозначно <math>\rho(r)</math> нужно воспользоваться уравнением Пуассона
| |
− | | |
− | <math>\frac{d^2 \Phi}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{d\Phi}{dr}=4\pi G\rho(\Phi)</math>
| |
− | | |
− | Которое с учётом сдвига координат перепишется, как
| |
− | | |
− | <math>(7): \frac{d^2 \Phi}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{d\Phi}{dr}=4\pi G\rho(\Phi(r))-4\pi G\rho(\Phi(R))</math>
| |
− | | |
− | Потенциал во внутренней точке с радиус-вектором <math>r</math> массивной сферы определяется выражением
| |
− | | |
− | <math>(8): \Phi(r)=\frac{Gm(r)}{r}+4\pi G \int_r^R \rho(r') r' dr'-\frac{GM}{R}</math>,
| |
− | | |
− | где <math>m(r)=4 \pi \int_0^r r^2 \rho(r)dr</math> -масса вложенной сферы сферы радиуса <math>r</math>, а "<math>-\frac{GM}{R}</math>" появляется из-за сдвига "нуля" потенциала.
| |
− | | |
− | Потенциал на границе шара, по условию
| |
− | | |
− | <math>(9):\Phi(R)=0</math>
| |
− | | |
− | Потенциал в центре <math>r \to 0</math>
| |
− | | |
− | <math>(10): \Phi(0)=4\pi G \int_0^R \rho(r) r dr-\frac{GM}{R}</math>.
| |
− | | |
− | <math>\rho(r)= \rho(0) e^{-\theta(r)}</math>
| |
− | | |
− | '''Незвестная функция <math>\theta(r)</math> не позволяет вычеслить интеграл.'''
| |
− | | |
− | ==Плотность в центре сферы==
| |
− | | |
− | Найдём значение плотности в центре шара. Из <math>(6)</math> имеем
| |
− | | |
− | <math>(11): \rho(0)=4\pi A \int_0^{v_e} (e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2})v^2 dv</math>
| |
− | | |
− | Основную трудность здесь представляет интеграл
| |
− | | |
− | <math>\int_0^{v_e} e^{-j^2 v^2}v^2 dv</math>,
| |
− | | |
− | В Берклеевском курсе физике (т.5 стр 338) найдено значение интеграла на всей вещественной оси <math>\mathbf{R}</math>:
| |
− | | |
− | <math> (12): \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j^2 v^2}v^2 dv=\frac{\sqrt{\pi}}{2}j^{-3/2}</math>
| |
− | | |
− | Значение же интеграла на произвольном отрезке не получить в элементарных функциях.
| |
− | | |
− | Можно пойти на хитрость.
| |
− | | |
− | Экстремумы подынтегральной функции достигаются при <math>x=0</math> и <math>x=\pm j^{-1}</math> ('''рис. 1''').
| |
− | | |
− | Если <math>v_e\ge 3\cdot j^{-1}</math> (3-ка написана из-за несимметричности функции), то можно считать, что что значение такого интеграла приближённо равно половине интеграла <math>(12)</math>.
| |
− | | |
− | [[Файл: FP-1.png|thumb|left|500px|рис. 1]]
| |
− | | |
− | Тогда, при выполнении предположения <math>v_e\ge 3\cdot j^{-1}</math>:
| |
− | | |
− | <math>(13): \rho(0)=4\pi A \int_0^{v_e(0)} e^{-j^2 v^2}\cdot v^2 dv-4\pi A \int_0^{v_e(0)} e^{-j^2 v_e(0)^2}\cdot v^2 dv=\pi^{3/2} Aj^{-3/2}-\frac{4}{3}\pi A v_e^2 e^{-j v_e(0)^2}</math>
| |