Редактирование: Мещерский 48.36

'''Задача №48.36 из сборника задач Мещерского.''' Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.

==Формулировка задачи==
При наезде тележки {A} на упругий упор <math>{B}</math> начинаются колебания подвешенного на стержне груза <math>{D}</math>. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если <math>{m_1}</math> - масса тележки, <math>{m_2}</math> - масса груза, <math>{l}</math> длина стержня, <math>{c}</math> - коэффициент жёсткости пружины упора <math>{B}</math>. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси <math>{x}</math> взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора <math>{B}</math>. Массой стержня пренебречь.
Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <math>\dot\varphi^2</math>, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1</math>.

==Решение задачи==
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
:
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial E_k}{\partial q_i} = Q_i</math>, где
:
<math>{E_k}</math> - кинетическая энергия системы,
:
<math>{q_i}</math> - обобщённые координаты,
:
<math>{Q_i}</math> - обобщённые силы.

Начнём с определения кинетической энергии:
:
<math>{E_\text{k}} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}</math> (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
:
<math>{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)</math>
:
<math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math>

Из (1) и (2) имеем:
:
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi \left(3\right)</math>
:
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot\varphi}\right) = \frac{d}{dt}/left(m_2l^2\dot\varphi + m_2l\dot x\cos\varphi\right) = m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(4\right)</math>
:
<math>\frac{\partial E_k}{\partial\varphi} = - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(5\right)</math>


2. Найдём потенциальную энергию системы:
:
<math>E_P = E_\text{PA} + E_\{PD}</math>
:
<math>E_\text{PA} = \frac{cx^2}{2}</math>
:
<math>E_\text{PD} = m_2gl\left(1 - \cos\varphi\right)</math>

Из последних трёх равенств получим
:
<math> - \frac{\partial E_P}{\partial x} = - cx  \left(6\right)</math>
:
<math> - \frac{\partial E_P}{\partial\varphi} = - m_2gl\sin\varphi \left(7\right)</math>

3. Имея в виду, что
:
<math> - \frac{\partial E_P}{\partial q_i} = Q_i</math>
и
:
<math>\frac{\partial E_k}{\partial x} = 0</math>,

подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:
:
<math>\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx /left(8/right)</math>
:
<math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi  + m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi = - m_2gl\sin\varphi</math>, т.е.
:
<math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)</math>

'''(8), (9) и есть искомые уравнения движения.'''

4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:
:
<math>/left(m_1 + m_2/right)/ddot x + m_2l\ddot\varphi = 0</math>
:
<math>\ddot x + l\ddot varphi = - g\varphi</math>

Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:
:
<math>\ddot\varphi - \frac{g\left(m_1 + m_2\right)}{lm_1}\varphi = 0 \left(10\right)</math>

(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,
:
<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g/left(m_1 + m_2/right)}}</math>