Редактирование: Мещерский 48.26

'''Задача 48.26 из сборника задач Мещерского:''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом.
[[File:48.26.png|thumb|right]]
==Формулировка задачи==
Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы m, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы m. К оси блока С прикреплен прикреплен груз К массы <math>{m_1}</math>. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.

==Решение задачи==
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial S_i} = Q_i  ,  (i = 1,2)</math> , где
 T - кинетическая энергия системы
 Q - обобщенные силы
 S - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем расстояния <math>S_1</math> и <math>S_2</math>.
:
С учётом выбранных направлений перемещений: <math>S = \frac{S_1 + S_2}{2}</math>. Следовательно, <math>{\dot S} = \frac{\dot S_1 + \dot S_2}{2};   \Delta S = \frac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{2}</math>
:
Кинетическая энергия всей системы:
:
<math>T = \frac{1}{2}m\dot S_1^{2} + \frac{1}{2}m_1\dot S^{2} + \frac{1}{2}m\dot S_2^{2} = \frac{1}{2}(m(\dot S_1^{2} + \dot S_2^{2}) + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2)^{2})</math>.

Вычислим частные производные:
:
<math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_1} = m\dot S_1 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2);
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2;
\frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math>
:
<math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_2} = m\dot S_2 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2);</math>
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1;</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math>
:
Найдем сумму работ, действующих на систему:
:
<math>A = m_1g *\Delta S - mg*\Delta S_2 - F_т*\Delta S_1 = g(-fm\Delta S_1 - m\Delta S_2 + m_1\frac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{2}) = g((\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1) + (\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math>
:
Отсюда находим обобщённые силы:
:
<math>Q_1 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1;</math>
:
<math>Q_2 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math>
:
Подставляем найденные величины в уравнения Лагранжа:
:
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1)</math>

<math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math>
:
Сложим уравнения:
:
<math>(m + \frac{m_1}{2})\ddot S_1 + (m + \frac{m_1}{2})\ddot S_2 = g(m_1 - fm - m).</math>
:
И так как <math>{\ddot S} = \frac{\ddot S_1 + \ddot S_2}{2}</math>, то <math>\ddot S = \frac{1}{2}*\frac{g(m_1 - m(1+f)}{m + \frac{m_1}{2}} = g\frac{m_1 - m(1+f)}{2m + m_1}.</math> Это ускорение груза К. Чтобы он опускался вниз, ускорение должно быть отрицательным или <math>m_1 > m(1+f)</math>

== Решение ==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Dementjeva/48.26.html |width=800 |height=600 |border=0 }}