Редактирование: КП: Диск Эйлера
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 22: | Строка 22: | ||
[[Файл:Euler.jpg|350px]] | [[Файл:Euler.jpg|350px]] | ||
<br> Рассмотрим стационарное движение твердого диска с одной точкой касания без диссипаций. | <br> Рассмотрим стационарное движение твердого диска с одной точкой касания без диссипаций. | ||
− | Для описания тела будем использовать единичный вектор нормали <math> \ | + | Для описания тела будем использовать единичный вектор нормали <math> \b{n} </math> и вектор <math> \b{a} </math> , находящегося в плоскости диска с длиной, равной радиусу диска. |
== Общие сведения по теме == | == Общие сведения по теме == | ||
Строка 43: | Строка 43: | ||
Запишем кинетический момент сиcтемы: | Запишем кинетический момент сиcтемы: | ||
<br> | <br> | ||
− | <math> \dot{\ | + | <math> \dot{\b{K}} = \dot{ \left( \underline{\underline{\Theta}} \cdot \underline{\omega} \right) } = \b{M} </math> |
<br> | <br> | ||
− | <math> \dot{\ | + | <math> \dot{\b{K}} = \Theta_{12} \b{n} \times \ddot{\b{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \b{n} \right) } </math> |
<br>Положим | <br>Положим | ||
− | <br> <math> \eta = \ | + | <br> <math> \eta = \b{k} \cdot \b{n} = \cos(\vartheta) </math> |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \epsilon = \b{k} \times \b{n} = \sin(\vartheta) </math> |
<br> Имеем далее | <br> Имеем далее | ||
<br> | <br> | ||
<math>\left\{ | <math>\left\{ | ||
\begin{array}{lcl} | \begin{array}{lcl} | ||
− | \ | + | \b{a} \perp \b{k} \times \b{n} \\ |
− | \ | + | \b{a} \perp \b{n} \\ |
\end{array} | \end{array} | ||
Строка 61: | Строка 61: | ||
<br> | <br> | ||
<br> Из этого следует: | <br> Из этого следует: | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} \parallel \left[ \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n}) \right ] </math> |
<br> Имеем | <br> Имеем | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} ) = \b{k} ( \b{n} \cdot \b{n}) - \b{n} (\b{n} \cdot \b{k}) = \b{k} - \eta \b{n} </math> |
− | <br> Таким образом можем представить вектор <math> \ | + | <br> Таким образом можем представить вектор <math> \b{a} </math> следующим образом: |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} = \lambda( \b{k} - \eta \b{n}) </math> |
<br> Имеем далее: | <br> Имеем далее: | ||
− | <br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) = \lambda^2 \ | + | <br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) = \lambda^2 \epsilon </math> |
<br> Таким образом | <br> Таким образом | ||
<br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math> | <br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math> | ||
− | <br> Недтрудно понять что вектор <math> \ | + | <br> Недтрудно понять что вектор <math> \b{a} </math> в таком случае записывается в следующем виде: |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } ( \b{k} - \eta \b{n}) </math> |
<br> Имеем далее: | <br> Имеем далее: | ||
− | <br> <math> \frac{ \ | + | <br> <math> \frac{ \b{a} } {a} = \frac{ \b{k} - \eta \b{n} } { \left| \b{k} - \eta \b{n} \right| } </math> |
<br> Получаем таким образом: | <br> Получаем таким образом: | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} = \frac{a}{\epsilon} (\b{k} - \eta \b{n}) </math> |
<br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов: | <br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов: | ||
− | <br> <math> m \ddot{\ | + | <br> <math> m \ddot{\b{r}} = m \b{g} + \b{N} = (N - mg) \b{k} </math> |
− | <br> <math> \dot{ \left( \ | + | <br> <math> \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w} \right) } = \b{a} \times \b{N} </math> |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{N} = N \b{k} </math> |
<br> Таким образом имеем: | <br> Таким образом имеем: | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} \times \b{N} = \frac{a \eta}{ e} N \b{k} \times \b{n} </math> |
<br> В результате получаем систему, описывающую движение тела: | <br> В результате получаем систему, описывающую движение тела: | ||
<br> <math>\left\{ | <br> <math>\left\{ | ||
\begin{array}{lcl} | \begin{array}{lcl} | ||
− | \Theta_{12} \ | + | \Theta_{12} \b{n} \times \ddot{\b{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \b{n} \right) } + a \frac{\eta}{\epsilon} N \b{n} \times \b{k} = 0\;(1)\\ |
m \ddot{z} = N - mg \\ | m \ddot{z} = N - mg \\ | ||
− | z = - a \ | + | z = - a \epsilon \\ |
\end{array} | \end{array} | ||
Строка 96: | Строка 96: | ||
<br> <math>\left\{ | <br> <math>\left\{ | ||
\begin{array}{lcl} | \begin{array}{lcl} | ||
− | \underline{\omega} = \dot{\psi} \ | + | \underline{\omega} = \dot{\psi} \b{k} + \dot{\varphi} \b{n} \\ |
− | \underline{\omega} \times \ | + | \underline{\omega} \times \b{a} = 0 |
\end{array} | \end{array} | ||
\right. </math> | \right. </math> | ||
<br> Тогда: | <br> Тогда: | ||
− | <br> <math> \dot{ \ | + | <br> <math> \dot{ \b{n}} = \dot{\psi} \b{k} \times \b{n} </math> |
− | <br> <math> \ddot{ \ | + | <br> <math> \ddot{ \b{n}} = (\dot{\psi} )^2 \left( \b{k}\cos{\vartheta} - \b{n} \right) </math> |
− | <br> <math> \Omega = \underline{ \omega } \cdot \ | + | <br> <math> \Omega = \underline{ \omega } \cdot \b{n} = \dot{ \psi } \cos( \vartheta ) + \dot{ \phi } </math> |
− | <br> <math> \dot{\left( \Omega \ | + | <br> <math> \dot{\left( \Omega \b{n} \right)} = \Omega \dot{ \b{n}} = \Omega \dot{ \psi } \b{k} \times \b{n} </math> |
<br> Подставляем полученные выражения в уравнение (1) | <br> Подставляем полученные выражения в уравнение (1) | ||
− | <br> <math> \left[ -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta | + | <br> <math> \left[ -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta + \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta + \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N \right] \b{n} \times \b {k} = 0 </math> |
<br> Получаем уравнение: | <br> Получаем уравнение: | ||
− | <br> <math>-\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta | + | <br> <math>-\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta + \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta + \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N = 0 </math> <br>получаем: |
− | <br> <math> \underline{\omega} \times \ | + | <br> <math> \underline{\omega} \times \b{a} = 0 </math> |
− | <br> <math> \left( \dot{\psi} \ | + | <br> <math> \left( \dot{\psi} \b{k} + \dot{\varphi} \b{n}\right) \times \b{a} = 0 </math> |
− | <br> <math> \dot{\psi} \ | + | <br> <math> \dot{\psi} \b{k} \times \b{a} + \dot{\varphi} \b{n} \times \b{a} = 0 </math> |
<br> <math> a \left( \dot{ \psi } \cot( \vartheta) + \frac{ \dot{ \varphi } } \sin( \vartheta) \right) = 0 </math> | <br> <math> a \left( \dot{ \psi } \cot( \vartheta) + \frac{ \dot{ \varphi } } \sin( \vartheta) \right) = 0 </math> | ||
<br> Получаем систему: | <br> Получаем систему: | ||
<br> <math>\left\{ | <br> <math>\left\{ | ||
\begin{array}{lcl} | \begin{array}{lcl} | ||
− | -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta | + | -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta + \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta + \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N = 0 \\ |
m \ddot{z} = N - mg; z = - a \sin( \vartheta ) \\ | m \ddot{z} = N - mg; z = - a \sin( \vartheta ) \\ | ||
\dot{ \psi } \sin( \vartheta ) + \dot{ \varphi } = 0 | \dot{ \psi } \sin( \vartheta ) + \dot{ \varphi } = 0 | ||
Строка 124: | Строка 124: | ||
<br> Таким образом <math> N = mg </math> | <br> Таким образом <math> N = mg </math> | ||
<br> Имеем | <br> Имеем | ||
− | <br> <math> | + | <br> <math> (\dot{\psi} )^2 \cos \vartheta ( \Theta_3 - \Theta_12 ) + \Theta_3 \dot{ \psi } \dot { \phi } + a \cot \vartheta N = 0 </math> |
<br> Получаем следующую зависимость: | <br> Получаем следующую зависимость: | ||
− | <br> <math> \dot{ \psi } = \sqrt{ \frac{a m g \cot( \vartheta)}{ \sin\vartheta \Theta_3 | + | <br> <math> \dot{ \psi } = \sqrt{ \frac{a m g \cot( \vartheta)}{ \sin(\vartheta) \Theta_3 - \sin\vartheta\left( \Theta_{3} - \Theta_{12} \right) } } </math> |
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | В результате работы найден простой метод описания данной динамической системы, | + | В результате работы найден простой метод описания данной динамической системы. Получены уравнения, описывающие движение диска. |
− | |||
− | |||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |