Редактирование: КП: Диск Эйлера
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 20: | Строка 20: | ||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
== Общие сведения по теме == | == Общие сведения по теме == | ||
Повышенный интерес к диску Эйлера возник после опубликования работы К. Моффатта, | Повышенный интерес к диску Эйлера возник после опубликования работы К. Моффатта, | ||
в которой резкое прекращение движения диска объясняется прежде всего воздействием силы | в которой резкое прекращение движения диска объясняется прежде всего воздействием силы | ||
− | вязкого сопротивления воздуха. Эта теория вызвала значительную дискуссию и развитие | + | вязкого сопротивления воздуха [2]. Эта теория вызвала значительную дискуссию и развитие |
конкурентных гипотез о природе основного механизма диссипации энергии для диска Эйлера. | конкурентных гипотез о природе основного механизма диссипации энергии для диска Эйлера. | ||
− | Ван ден Энг (van den Engh) с соавторами провели некоторые эксперименты по движению | + | Ван ден Энг (van den Engh) с соавторами провели некоторые эксперименты по движению дис- |
+ | коподобных тел, свидетельствующие не в пользу гипотезы о вязком трении. В ответ на работу | ||
Моффатта они опубликовали свое объяснение, ключевым пунктом которого является наличие | Моффатта они опубликовали свое объяснение, ключевым пунктом которого является наличие | ||
− | скольжения при контакте диска и поверхности. Критика выводов и краткое обсуждение | + | скольжения при контакте диска и поверхности [4]. Критика выводов [2] и краткое обсуждение |
− | возможных источников диссипации содержатся также в неопубликованной заметке Э. Руины. | + | возможных источников диссипации содержатся также в неопубликованной заметке Э. Руины [3]. |
Авторами последовавших экспериментальных и теоретических работ исследовался вопрос | Авторами последовавших экспериментальных и теоретических работ исследовался вопрос | ||
− | о наличии и степени влияния определенных типов трения на различных этапах движения | + | о наличии и степени влияния определенных типов трения на различных этапах движения дис- |
+ | ка [6, 7, 9–13]. Были численно и аналитически исследованы модели системы с различными огра- | ||
+ | ничениями, проведен анализ полученных экспериментальных данных. Эти исследования в ос- | ||
+ | новном указывают на то, что основными диссипативными силами, вызывающими вибрацию и | ||
остановку диска, являются силы трения качения и трения скольжения, нежели силы вязкого | остановку диска, являются силы трения качения и трения скольжения, нежели силы вязкого | ||
трения. Из немногих предположений о физике этих эффектов стоит упомянуть, как наиболее | трения. Из немногих предположений о физике этих эффектов стоит упомянуть, как наиболее | ||
− | естественную, гипотезу Кесслера и О’Рейли, что резкая остановка диска происходит в | + | естественную, гипотезу Кесслера и О’Рейли [10], что резкая остановка диска происходит в ре- |
− | наклона диска. (Для проверки этой гипотезы потребуется рассматривать деформируемую | + | зультате потери контакта между диском и поверхностью в процессе вибраций при малом угле |
+ | наклона диска. (Для проверки этой гипотезы потребуется рассматривать деформируемую мо- | ||
+ | дель для контактирующих тел.) | ||
== Решение == | == Решение == | ||
Запишем кинетический момент сиcтемы: | Запишем кинетический момент сиcтемы: | ||
<br> | <br> | ||
− | <math> \dot{\ | + | <math> \dot{\b{\b{K}}} = \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w} \right) } = \b{M} </math> |
<br> | <br> | ||
− | <math> \dot{\ | + | <math> \dot{\b{\b{K}}} = \Theta_{12} \b{n} \times \dot{\b{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \b{n} \right) } </math> |
<br>Положим | <br>Положим | ||
− | <br> <math> \eta = \ | + | <br> <math> \eta = \b{k} \cdot \b{n} = \cos( O) </math> |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \epsilon = \b{k} \times \b{n} = \sin( O) </math> |
<br> Имеем далее | <br> Имеем далее | ||
<br> | <br> | ||
<math>\left\{ | <math>\left\{ | ||
− | \begin{array}{ | + | \begin{array}{rcl} |
− | \ | + | \b{a} \perp \b{k} \times \b{n} \\ |
− | \ | + | \b{a} \perp \b{n} \\ |
\end{array} | \end{array} | ||
Строка 61: | Строка 64: | ||
<br> | <br> | ||
<br> Из этого следует: | <br> Из этого следует: | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} \parallel \left[ \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} \right ] </math> |
<br> Имеем | <br> Имеем | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} ) = \b{k} ( \b{n} \cdot \b{n}) - \b{n} (\b{n} \cdot \b{k}) = \b{k} - \eta \b{n} </math> |
− | <br> Таким образом можем представить вектор <math> \ | + | <br> Таким образом можем представить вектор <math> \b{a} </math> следующим образом: |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} = \lambda( \b{k} - \eta \b{n}) </math> |
<br> Имеем далее: | <br> Имеем далее: | ||
− | <br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) = \lambda^2 \ | + | <br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) = \lambda^2 \epsilon </math> |
<br> Таким образом | <br> Таким образом | ||
<br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math> | <br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math> | ||
− | <br> Недтрудно понять что вектор <math> \ | + | <br> Недтрудно понять что вектор <math> \b{a} </math> в таком случае записывается в следующем виде: |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } ( \b{k} - \eta \b{n}) </math> |
<br> Имеем далее: | <br> Имеем далее: | ||
− | <br> <math> \frac{ \ | + | <br> <math> \frac{ \b{a} } {a} = \frac{ \b{k} - \eta \b{n} } { \left| \b{k} - \eta \b{n} \right| } </math> |
<br> Получаем таким образом: | <br> Получаем таким образом: | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} = \frac{a}{\epsilon} (\b{k} - \eta \b{n}) </math> |
<br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов: | <br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов: | ||
− | <br> <math> m \ | + | <br> <math> m \dot{\b{r}} = m \b{g} + \b{N} = (N - mg) \b{k} </math> |
− | <br> <math> \dot{ \left( \ | + | <br> <math> \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w} \right) } = \b{a} \times \b{N} </math> |
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{N} = N \b{k} </math> |
<br> Таким образом имеем: | <br> Таким образом имеем: | ||
− | <br> <math> \ | + | <br> <math> \b{a} \times \b{N} = \frac{a \eta}{ e} N \b{k} \times \b{n} </math> |
<br> В результате получаем систему, описывающую движение тела: | <br> В результате получаем систему, описывающую движение тела: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |