Редактирование: Исследование свойств солитона в нелинейном одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
==Введение== | ==Введение== | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
До середины 1970-х годов для описания физических явлений обычно использовались линейные или <<почти>> линейные модели, что позволяло воспользоваться удобным, но часто нереалистичным свойством таких систем: характеризующаяся замысловатыми причинно-следственными связями система рассматривалась как совокупность нескольких более простых подсистем, влияние которых на совокупную динамику можно было исследовать отдельно. Однако, использование линейной модели вместо нелинейной приводит к потере важных качественных характеристик исследуемого явления. | До середины 1970-х годов для описания физических явлений обычно использовались линейные или <<почти>> линейные модели, что позволяло воспользоваться удобным, но часто нереалистичным свойством таких систем: характеризующаяся замысловатыми причинно-следственными связями система рассматривалась как совокупность нескольких более простых подсистем, влияние которых на совокупную динамику можно было исследовать отдельно. Однако, использование линейной модели вместо нелинейной приводит к потере важных качественных характеристик исследуемого явления. | ||
<br/> | <br/> | ||
| Строка 21: | Строка 18: | ||
Конкретно в данной работе рассматривается солитон в одномерном нелинейном кристалле с целью предугадывать его поведение в различных системах. | Конкретно в данной работе рассматривается солитон в одномерном нелинейном кристалле с целью предугадывать его поведение в различных системах. | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | + | [[File:SolitonAppear.gif|200px|Как выглядит образование солитона]] | |
| + | <br/> | ||
==Постановка задачи== | ==Постановка задачи== | ||
| − | + | в данной работе рассматривается одномерный нелинейный кристалл, который представляет собой цепочку взаимодействующих частиц: | |
| − | + | <br/> | |
| − | + | [[File:Links.png|thumb|200px|Одномерный кристалл]] | |
| − | |||
<br/> | <br/> | ||
| − | |||
== Основные уравнения == | == Основные уравнения == | ||
| − | |||
<br/> | <br/> | ||
В данной работе вместо линейного уравнения динамики цепочки будет использоваться нелинейное: | В данной работе вместо линейного уравнения динамики цепочки будет использоваться нелинейное: | ||
<br/> | <br/> | ||
<math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)</math> | <math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)</math> | ||
| − | |||
| − | |||
<br/> | <br/> | ||
Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | ||
| Строка 42: | Строка 35: | ||
<math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1}))</math> | <math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1}))</math> | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | |||
== Начальные и граничные условия == | == Начальные и граничные условия == | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<br/> | <br/> | ||
Для задания скорости частиц берется уравнение бегущей волны (хотим получить бегущую в одну сторону волну): | Для задания скорости частиц берется уравнение бегущей волны (хотим получить бегущую в одну сторону волну): | ||
| Строка 73: | Строка 62: | ||
== Численное решение == | == Численное решение == | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<br/> | <br/> | ||
При вычислении скорости и перемещений частиц кристалла были использованы следующие уравнения: | При вычислении скорости и перемещений частиц кристалла были использованы следующие уравнения: | ||
| Строка 92: | Строка 78: | ||
== Результаты == | == Результаты == | ||
| − | |||
<br/> | <br/> | ||
Для выявление зависимостей характеристик солитона от параметров система была написана программа на языке JavaScript, позволяющая наглядно наблюдать образование солитона и сравнивать два одномерных кристалла, варьируя их параметры. | Для выявление зависимостей характеристик солитона от параметров система была написана программа на языке JavaScript, позволяющая наглядно наблюдать образование солитона и сравнивать два одномерных кристалла, варьируя их параметры. | ||
| + | [[File:ProgramLook.png|thumb|600px|Одномерный кристалл]] | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | Для установления зависимостей параметров системы от нелинейного коэффициента | + | Для установления зависимостей параметров системы от нелинейного коэффициента $\alpha$ был проведен следующий эксперимент: смоделирован одномерный нелинейный кристалл при различных $\alpha$. Параметры системы: частота $\omega^2 = 1$, количество частиц $N = 500$. Исследуемые параметры: |
<br/> | <br/> | ||
| − | + | $Т_{раз}$ -- время за которое на волне образуются солитоны, | |
<br/> | <br/> | ||
| − | + | $Т_{уст}$ -- время за которое высота солитона выходит на постоянный уровень, | |
<br/> | <br/> | ||
| − | + | $h_{сол}$ -- высота солитона в отношении к начальной амплитуде колебаний волны, | |
<br/> | <br/> | ||
| − | + | $s_{экс}$ -- расстояние между максимумами первых двух солитонов в отношении к длине кристалла. | |
<br/> | <br/> | ||
| + | [[File:TwoSolitonNew.png|thumb|600px|На рисунке большими серыми стрелками показаны интересующие нас два максимума, а в серой прямоугольной области - два солитона.]] | ||
<br/> | <br/> | ||
Результаты показаны в виде графиков ниже: | Результаты показаны в виде графиков ниже: | ||
| + | <br/> | ||
| + | [[File:DistanceAlpha.png|thumb|400px|Зависимость $s_{экс}$ от $\alpha$]] | ||
| + | <br/> | ||
| + | <br/> | ||
| + | [[File:SteadyAlpha.png|thumb|400px|Зависимость $Т_{уст}$ от $\alpha$.]] | ||
| + | <br/> | ||
| + | <br/> | ||
| + | [[File:DistortionAlpha.png|thumb|400px|Зависимость $Т_{раз}$ от $\alpha$.]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==Выводы== | ==Выводы== | ||
| − | + | До 1965 года полагали, что динамика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных настолько сложна, что практически не представляется возможным получить их аналитические решения. К настоящему моменту известно несколько дюжин подобных систем (некоторые из которых связаны с практическими приложениями), для которых точные решения были получены с использованием методов, основанных на понимании солитона как новой динамической сущности, образующейся из соответствующего дифференциального уравнения. Этот результат, важный сам по себе, расширяет область применения теории возмущений, поскольку позволяет исследователю выбрать в качестве оценки нулевого порядка полностью нелинейную функцию \cite{Book_6} (скажем, выражение для N -- солитона). | |
| − | + | \\ | |
| − | До 1965 года полагали, что динамика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных настолько сложна, что практически не представляется возможным получить их аналитические решения. К настоящему моменту известно несколько дюжин подобных систем (некоторые из которых связаны с практическими приложениями), для которых точные решения были получены с использованием методов, основанных на понимании солитона как новой динамической сущности, образующейся из соответствующего дифференциального уравнения. Этот результат, важный сам по себе, расширяет область применения теории возмущений, поскольку позволяет исследователю выбрать в качестве оценки нулевого порядка полностью нелинейную функцию (скажем, выражение для N -- солитона). | ||
| − | |||
Результатом данной работы стало определение зависимостей характеристик солитона от параметров системы, а конкретно: | Результатом данной работы стало определение зависимостей характеристик солитона от параметров системы, а конкретно: | ||
| − | + | \begin{enumerate} | |
| − | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и расстоянием между максимумами первых двух солитонов $s_{экс}$. | |
| − | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и временем образования солитона $Т_{раз}$. | |
| − | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и временем установления высоты солитона $Т_{уст}$. | |
| − | + | \item Наблюдается экспоненциальная зависимость между количеством частиц $N$ и расстоянием между максимумами первых двух солитонов $s_{экс}$. | |
| − | + | \item Наблюдается линейная зависимость между количеством частиц $N$ и временем образования солитона $T_{рас}$. | |
| − | + | \item Наблюдается линейная зависимость между количеством частиц $N$ и временем установления высоты солитона $T_{уст}$. | |
| − | + | \end{enumerate} | |
| + | \\ | ||
Таким образом, были выявлены интересующие нас зависимости, которое позволяют прогнозировать поведение солитона в зависимости от условий системы. | Таким образом, были выявлены интересующие нас зависимости, которое позволяют прогнозировать поведение солитона в зависимости от условий системы. | ||
| − | + | \\ | |
Дальнейшей работой в этой области будет усовершенстование программы расчета, а именно рассмотрение влияния различных начальных условий на солитоны и проведение реального эксперимента для сравнения с аналитическим решением. | Дальнейшей работой в этой области будет усовершенстование программы расчета, а именно рассмотрение влияния различных начальных условий на солитоны и проведение реального эксперимента для сравнения с аналитическим решением. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==Список литературы== | ==Список литературы== | ||
