Редактирование: Динамическое исследование аневризмы аорты

== Руководитель == 
проф. дфмн. А.В. Порубов
== Введение == 
Аорта – самый крупный артериальный сосуд в теле человека, от которого отходят все артерии, образующие большой круг кровообращения.

С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки [24]. 
[[Файл:66518_html_m31bb26e5.png|300px|thumb|right|Стентирование аорты]] 
Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [18].

Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [16]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [5, 22].

Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости.  Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [5].
Одним из важных гемодинамических процессов является распространение пульсовой волны. Если регистрировать деформации стенки артерии в двух разноудаленных от сердца точках, то окажется, что деформация сосуда дойдет до более удаленной точки позже, то есть по сосуду распространяется волна пульсовых колебаний объема сосуда, давления и скорости кровотока, однозначно связанных  друг c другом. Это так называемая пульсовая волна. Пульсовая волна - процесс распространения изменения объема вдоль эластичного сосуда в результате одновременного изменения в нем давления и массы жидкости. 

В данной работе предлагается метод, с помощью которого наличие неоднородностей стенки аорты, образовавшихся в результате болезни или использования стента, можно обнаружить, наблюдая за изменением скорости и амплитуды волны деформации, распространяющейся вдоль стенки аорты.

== Цели == 
*Исследовать эволюцию нелинейных локализованных волн в аорте;

*Исследовать возможность использования этих волн для акустодиагностики неоднородностей на стенке аорты.

== Постановка задачи: Модель ==
[[Файл:Trubka.jpg|200px|thumb|right|Схематическое изображение трубки]] 
*Аорта  - цилиндрическая упругая тонкостенная трубка;
*Кровь внутри аорты - идеальная несжимаемая жидкость;
*Для простоты рассматривается одномерная постановка задачи  на основании ранее разработанной модели (Yomosa, 1987).

== Постановка задачи: уравнения ==
*Для жидкости внутри аорты  справедливо уравнение движение в форме уравнения Эйлера:
[[Файл:Formula_1.jpg|150px|thumb|left]]
,где v(x,t) – скорости потока жидкости вдоль оси трубки, ρ – постоянная  плотность жидкости, x – координата вдоль оси трубки, t – время, p(x,t) – давление жидкости. 




*Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного сечения трубки:
[[Файл:Formula_2.jpg|200px|thumb|left]]
,где u(x,t) – радиальное упругое смещение стенки трубки,  R=R(x)  -  радиус трубки. 






*Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в стенке для внешнего радиального напряжения:
[[Файл:Formula_3.jpg|250px|thumb|left]]
,где E - модуль Юнга, а параметр a характеризует нелинейную упругость, P - внешнее давление, P_0- атмосферное давление, ρ_0 - плотность материала стенки, константы h и H   пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Аорта – самый крупный артериальный сосуд в теле человека, от которого отходят все артерии, образующие большой круг кровообращения.
-С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки.
+С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки [24].
 [[Файл:66518_html_m31bb26e5.png|300px|thumb|right|Стентирование аорты]]
-Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [3].
+Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [18].
-Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [2]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [1, 4].
+Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [16]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [5, 22].
-Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости.  Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [1].
+Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости.  Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [5].
 Одним из важных гемодинамических процессов является распространение пульсовой волны. Если регистрировать деформации стенки артерии в двух разноудаленных от сердца точках, то окажется, что деформация сосуда дойдет до более удаленной точки позже, то есть по сосуду распространяется волна пульсовых колебаний объема сосуда, давления и скорости кровотока, однозначно связанных  друг c другом. Это так называемая пульсовая волна. Пульсовая волна - процесс распространения изменения объема вдоль эластичного сосуда в результате одновременного изменения в нем давления и массы жидкости.
@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 *Для простоты рассматривается одномерная постановка задачи  на основании ранее разработанной модели (Yomosa, 1987).
-== Постановка задачи: Уравнения ==
+== Постановка задачи: уравнения ==
 *Для жидкости внутри аорты  справедливо уравнение движение в форме уравнения Эйлера:
 [[Файл:Formula_1.jpg|150px|thumb|left]]
-,где <math>v(x,t)</math> – скорости потока жидкости вдоль оси трубки,<math>ρ</math>  – постоянная  плотность жидкости, <math>x</math> – координата вдоль оси трубки,<math>t</math>  – время, <math>p(x,t)</math> – давление жидкости.
+,где v(x,t) – скорости потока жидкости вдоль оси трубки, ρ – постоянная  плотность жидкости, x – координата вдоль оси трубки, t – время, p(x,t) – давление жидкости.
@@ Строка 36: / Строка 36: @@
 *Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного сечения трубки:
 [[Файл:Formula_2.jpg|200px|thumb|left]]
-,где <math>u(x,t)</math> – радиальное упругое смещение стенки трубки,  <math>R=R(x)</math>  -  радиус трубки.
+,где u(x,t) – радиальное упругое смещение стенки трубки,  R=R(x)  -  радиус трубки.
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 *Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в стенке для внешнего радиального напряжения:
 [[Файл:Formula_3.jpg|250px|thumb|left]]
-,где <math>E</math> - модуль Юнга, а параметр <math>a</math> характеризует нелинейную упругость,<math>P</math>  - внешнее давление, <math>P_0</math>- атмосферное давление,<math>ρ_0</math>  - плотность материала стенки, константы <math>h</math> и <math>H</math>   пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.
+,где E - модуль Юнга, а параметр a характеризует нелинейную упругость, P - внешнее давление, P_0- атмосферное давление, ρ_0 - плотность материала стенки, константы h и H   пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.
-== Постановка задачи: Модельное уравнение ==
-В известных работах рассматривались случаи постоянной величины радиуса <math>R</math> (Yomosa, 1987) и переменного радиуса <math>R</math>(Kraenkel et al., 2007). Мы будем рассматривать случай резких изменений, которому соответствует кусочно-непрерывный характер радиуса, при этом производные от радиуса в уравнениях учитываться не будут.
-Новое модельное уравнение в виде модифицированного уравнения Буссинеска с пременными коэффициентами записывается в виде:
-[[Файл:Formula_4.jpg|350px|thumb|left]]
-== Точное решение в виде бегущей уединенной волны при постоянном значении радиуса R ==
-Точное решение модельного уравнения при постоянном значении радиуса <math>R</math> получено в виде(где <math>a_1</math> и <math>c_1</math>– комбинации коэффициентов модельного уравнения, характеризующие упругие свойства стенки <math>β</math> - свободный параметр.):
-[[Файл:Formula_5.jpg|350px|thumb|left]]
-[[Файл:Formula_6.jpg|250px|thumb|left|Амплитуда]]
-[[Файл:Formula_7.jpg|250px|thumb|left|Скорость]]
-== Численное исследование эволюции локализованной в волны в аорте ==
-В пакете Вольфрам Математика был разработан код, с помощью которого и были решены нелинейные уравнения в частных производных и произведена визуализация полученных решений.
-Начальное условие:
-[[Файл:Formula_8.jpg|350px|thumb|left]]
-Кусочно-непрерывный характер радиуса задается функцией(где <math>с_{11}</math> и <math>с_{21}</math>– размеры изменения глубины неоднородности,<math>x_{11}</math> и <math>x_{12}</math>– размеры изменения длины неоднородности,<math>k_m</math> и <math>k_n</math>– крутизна заднего и переднего фронта неоднородности соответственно):
-[[Файл:Formula_9.jpg|450px|thumb|left]]
-== Визуализация и анализ результатов ==
-[[Файл:150.jpg|800px|thumb|center|Поведение волны деформации при t=150, a = 0.5, β=0.4, c1=0.95]]
-Синей пунктирной линией показано начальное значение амплитуды.Красной - максимальное значение амплитуды для образовавшейся отраженной волны. Зеленой пунктирной линией обозначено максимальное значение амплитуды вторичной волны. Коричневым цвет - максимальное значение амплитуды основной волны.
-Исходя из визуализации данных делаем следующие выводы:
-Амплитуда основной волны резко возрастает на подходе к неоднородности, достигает своего максимума внутри нее. После прохождения пораженного участка наблюдается снижение амплитуды до своего минимума, затем рост, до значения практически равного начальному значению амплитуды, с которой волна деформации продолжает распространяться до конца рассмотренного участка. Возрастание скорости наблюдается только при прохождении неоднородности.
-Отраженная волна образуется внутри неоднородности и на рассмотренном участке распространяется с затухающей скоростью и амплитудой.
-Вторичная волна образуется внутри неоднородности и распространяется с постоянной скоростью. Амплитуда распространения данной волны меняется на всем рассмотренном участке незначительно, на границах участка имеет одинаковые значения и является максимальной.
-На представленном ниже рисунке показано, как со временем меняется амплитуда трех волн деформации при рассмотренном случае моделирования неоднородности.
-[[Файл:Am(t).jpg|800px|thumb|center|График зависимости амплитуды от времени при моделировании волны деформации в трубке с наличием неоднородности:
-а – для основной волны,
-б – для отраженной волны,
-в – для вторичной волны.
-]]
-== Задача акустодиагностики ==
-Задача акустодиагностики заключается в возможности сравнения скорости пульсовой волны, полученной на практике, со скоростью полученной на основе точного решения. После по изменению поведения проходящей вдоль аорты нелинейной волны деформации можно определить положение неоднородности и масштабы пораженного участка.
-== Выводы ==
-*Получено модельное уравнение для поперечных волн деформации в виде модифицированного уравнения Буссинеска с переменными коэффициентами;
-*Проведено численное исследование распространения локализованной волны деформации вдоль аорты,  разработан код в среде Вольфрам Математика;
-*Установлены основные качественные и количественные изменения в поведении волны при прохождении неоднородности: образование вторичной и отраженной локализованных волн;
-*Установлено сходство этих волн с точным решением в виде бегущей уединенной волны;
-*Это позволяет использовать выражения для параметров аналитического решения для определения параметров неоднородности по измеренным значениям амплитуды и скорости волны;
-*Возможно дальнейшее использование модели для других частных случаев неоднородности, в частности, расширения стенок аорты;
-*В перспективе применение модели на практике для диагностики характера и тяжести заболевания (акустодиагностики).
-== Список литературы ==
-.	А. Н. Волобуев. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // УФН. – 1995. -  Т. 165. - №2. - С. 177 – 186.
-.	G. A. Holzapfel , T.  C. Gasser,  R. W. Ogden, A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models// Journal of Elasticity 61. 2000. 1–48.
-.	R. A. Kraenkel, S. Noubissie, P. Woafo. A mathematical model for wave propagation in elastic tubes with inhomogeneities: Application to blood waves propagation // Physica D 236. 2007. 131-140.
-.	S. Yomosa. Solitary Waves in Large Blood Vessels // J. Phys. Soc. Japan 56. 1987. 506-520.