Динамическое исследование аневризмы аорты

Руководитель

проф. дфмн. А.В. Порубов

Введение

Аорта – самый крупный артериальный сосуд в теле человека, от которого отходят все артерии, образующие большой круг кровообращения.

С аортой связано множество заболеваний. Аневризма аорты – расширение участка аорты, обусловленное патологическим изменением соединительно-тканных структур ее стенок вследствие атеросклеротического процесса, воспалительного поражения, врожденной неполноценности или механических повреждений артериальной стенки.

Стентирование аорты

Для лечения заболеваний сердечно-сосудистой системы хирурги часто используют некоторые искусственные материалы, такие как стенты и протезы. Стент — специальная, изготовленная в форме цилиндрического каркаса упругая металлическая или пластиковая конструкция, которая помещается в просвет полых органов и обеспечивает формирование нормальных стенок сосуда. Данный метод является успешным, но в краткосрочной перспективе, так как эти материалы стали причиной аномальных механических напряжений и нарушений артериального кровотока за счет возобновления роста стенок или образования тромбов [3].

Моделирование внутренней структуры стенок аорты представляет собой трудную задачу [2]. Однако, в ряде случаев оказываются вполне пригодными упрощенные модели, в частности, те, в которых используется модель тонкостенной эластичной трубки для стенки артерии [1, 4].

Течение жидкости по тонкостенным эластичным трубкам можно условно разделить на три относительно самостоятельных гидродинамических явления: перенос объема жидкости по трубке, распространение волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной), скорость которой обычно выше скорости жидкости, и возникновение высокочастотных колебаний вследствие потери устойчивости. Эти явления носят нелинейный характер и описываются уравнениями, следующими из уравнений Навье-Стокса [1]. Одним из важных гемодинамических процессов является распространение пульсовой волны. Если регистрировать деформации стенки артерии в двух разноудаленных от сердца точках, то окажется, что деформация сосуда дойдет до более удаленной точки позже, то есть по сосуду распространяется волна пульсовых колебаний объема сосуда, давления и скорости кровотока, однозначно связанных друг c другом. Это так называемая пульсовая волна. Пульсовая волна - процесс распространения изменения объема вдоль эластичного сосуда в результате одновременного изменения в нем давления и массы жидкости.

В данной работе предлагается метод, с помощью которого наличие неоднородностей стенки аорты, образовавшихся в результате болезни или использования стента, можно обнаружить, наблюдая за изменением скорости и амплитуды волны деформации, распространяющейся вдоль стенки аорты.

Цели

• Исследовать эволюцию нелинейных локализованных волн в аорте;

• Исследовать возможность использования этих волн для акустодиагностики неоднородностей на стенке аорты.

Постановка задачи: Модель

Схематическое изображение трубки

• Аорта - цилиндрическая упругая тонкостенная трубка;
• Кровь внутри аорты - идеальная несжимаемая жидкость;
• Для простоты рассматривается одномерная постановка задачи на основании ранее разработанной модели (Yomosa, 1987).

Постановка задачи: Уравнения

• Для жидкости внутри аорты справедливо уравнение движение в форме уравнения Эйлера:

,где [math]v(x,t)[/math] – скорости потока жидкости вдоль оси трубки,[math]ρ[/math] – постоянная плотность жидкости, [math]x[/math] – координата вдоль оси трубки,[math]t[/math] – время, [math]p(x,t)[/math] – давление жидкости.

• Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного сечения трубки:

,где [math]u(x,t)[/math] – радиальное упругое смещение стенки трубки, [math]R=R(x)[/math] - радиус трубки.

• Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в стенке для внешнего радиального напряжения:

,где [math]E[/math] - модуль Юнга, а параметр [math]a[/math] характеризует нелинейную упругость,[math]P[/math] - внешнее давление, [math]P_0[/math]- атмосферное давление,[math]ρ_0[/math] - плотность материала стенки, константы [math]h[/math] и [math]H[/math] пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру.

Постановка задачи: Модельное уравнение

В известных работах рассматривались случаи постоянной величины радиуса [math]R[/math] (Yomosa, 1987) и переменного радиуса [math]R[/math](Kraenkel et al., 2007). Мы будем рассматривать случай резких изменений, которому соответствует кусочно-непрерывный характер радиуса, при этом производные от радиуса в уравнениях учитываться не будут. Новое модельное уравнение в виде модифицированного уравнения Буссинеска с пременными коэффициентами записывается в виде:

Точное решение в виде бегущей уединенной волны при постоянном значении радиуса R

Точное решение модельного уравнения при постоянном значении радиуса [math]R[/math] получено в виде(где [math]a_1[/math] и [math]c_1[/math]– комбинации коэффициентов модельного уравнения, характеризующие упругие свойства стенки [math]β[/math] - свободный параметр.):

Амплитуда

Скорость

Численное исследование эволюции локализованной в волны в аорте

В пакете Вольфрам Математика был разработан код, с помощью которого и были решены нелинейные уравнения в частных производных и произведена визуализация полученных решений. Начальное условие:

Кусочно-непрерывный характер радиуса задается функцией(где [math]с_{11}[/math] и [math]с_{21}[/math]– размеры изменения глубины неоднородности,[math]x_{11}[/math] и [math]x_{12}[/math]– размеры изменения длины неоднородности,[math]k_m[/math] и [math]k_n[/math]– крутизна заднего и переднего фронта неоднородности соответственно):

Визуализация и анализ результатов

Поведение волны деформации при t=150, a = 0.5, β=0.4, c1=0.95

Синей пунктирной линией показано начальное значение амплитуды.Красной - максимальное значение амплитуды для образовавшейся отраженной волны. Зеленой пунктирной линией обозначено максимальное значение амплитуды вторичной волны. Коричневым цвет - максимальное значение амплитуды основной волны.

Исходя из визуализации данных делаем следующие выводы: Амплитуда основной волны резко возрастает на подходе к неоднородности, достигает своего максимума внутри нее. После прохождения пораженного участка наблюдается снижение амплитуды до своего минимума, затем рост, до значения практически равного начальному значению амплитуды, с которой волна деформации продолжает распространяться до конца рассмотренного участка. Возрастание скорости наблюдается только при прохождении неоднородности. Отраженная волна образуется внутри неоднородности и на рассмотренном участке распространяется с затухающей скоростью и амплитудой. Вторичная волна образуется внутри неоднородности и распространяется с постоянной скоростью. Амплитуда распространения данной волны меняется на всем рассмотренном участке незначительно, на границах участка имеет одинаковые значения и является максимальной.

На представленном ниже рисунке показано, как со временем меняется амплитуда трех волн деформации при рассмотренном случае моделирования неоднородности.

График зависимости амплитуды от времени при моделировании волны деформации в трубке с наличием неоднородности: а – для основной волны, б – для отраженной волны, в – для вторичной волны.

Задача акустодиагностики

Задача акустодиагностики заключается в возможности сравнения скорости пульсовой волны, полученной на практике, со скоростью полученной на основе точного решения. После по изменению поведения проходящей вдоль аорты нелинейной волны деформации можно определить положение неоднородности и масштабы пораженного участка.

Выводы

• Получено модельное уравнение для поперечных волн деформации в виде модифицированного уравнения Буссинеска с переменными коэффициентами;

• Проведено численное исследование распространения локализованной волны деформации вдоль аорты, разработан код в среде Вольфрам Математика;

• Установлены основные качественные и количественные изменения в поведении волны при прохождении неоднородности: образование вторичной и отраженной локализованных волн;

• Установлено сходство этих волн с точным решением в виде бегущей уединенной волны;

• Это позволяет использовать выражения для параметров аналитического решения для определения параметров неоднородности по измеренным значениям амплитуды и скорости волны;

• Возможно дальнейшее использование модели для других частных случаев неоднородности, в частности, расширения стенок аорты;

• В перспективе применение модели на практике для диагностики характера и тяжести заболевания (акустодиагностики).

Список литературы

1. А. Н. Волобуев. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // УФН. – 1995. - Т. 165. - №2. - С. 177 – 186.

2. G. A. Holzapfel , T. C. Gasser, R. W. Ogden, A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models// Journal of Elasticity 61. 2000. 1–48.

3. R. A. Kraenkel, S. Noubissie, P. Woafo. A mathematical model for wave propagation in elastic tubes with inhomogeneities: Application to blood waves propagation // Physica D 236. 2007. 131-140.

4. S. Yomosa. Solitary Waves in Large Blood Vessels // J. Phys. Soc. Japan 56. 1987. 506-520.