| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | '''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br> | | '''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br> |
| − | [[Файл:2016-04-25 20-15-09.png|350px|thumb|right|Рис.1 Первая форма потери устойчивости]]
| |
| − | [[Файл:2016-06-12 16-40-49.png|350px|thumb|right|Рис.2 Вторая форма потери устойчивости]]
| |
| − | [[Файл:2016-06-18 13-49-54.png|350px|thumb|right|Рис.3 Третья форма потери устойчивости]]
| |
| | ''Автор работы'': [[Киселев Павел| П. Д. Киселев]]<br> | | ''Автор работы'': [[Киселев Павел| П. Д. Киселев]]<br> |
| | ''Руководитель'': [[Кузькин Виталий Андреевич | зам. зав. кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br> | | ''Руководитель'': [[Кузькин Виталий Андреевич | зам. зав. кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br> |
| Строка 9: |
Строка 6: |
| | | | |
| | Деформация стержней (колонн, балок) является классической задачей для механики твердых тел. Около пятидесяти последних лет активно изучались упругие системы и связанная с ними динамическая потеря устойчивости, приводящая к разрушениям. | | Деформация стержней (колонн, балок) является классической задачей для механики твердых тел. Около пятидесяти последних лет активно изучались упругие системы и связанная с ними динамическая потеря устойчивости, приводящая к разрушениям. |
| − | Изучение динамических нагрузок является объектом пристального внимания исследователей.
| + | Критические нагрузки относятся к наиболее тяжким последствиям природных и техногенных катастроф. Поэтому изучение динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей. |
| | | | |
| | ==Постановка задачи== | | ==Постановка задачи== |
| − | [[Файл:2016-06-19 14-25-55.png|400px|thumb|right|Рис.4 Цепочка частиц]] | + | [[Файл:Position of sensors.jpg|200px|thumb|right|Расположения датчиков. Вид сверху]] |
| | Рассматривается цепочка в двумерном пространстве, состоящая из материальных точек, соединенная линейными и угловыми пружинами (Рис.1)<br> | | Рассматривается цепочка в двумерном пространстве, состоящая из материальных точек, соединенная линейными и угловыми пружинами (Рис.1)<br> |
| | Уравнение движения: | | Уравнение движения: |
| − | <math> m\bar{a} = \bar{F_c} + \bar{F_s} </math><br> | + | <math> m\bar{a} = \bar{F_c} + \bar{F_s} </math> |
| | Начальные условия: Частицы находятся на равновесном расстоянии a и обладают случайными начальными скоростями <br> | | Начальные условия: Частицы находятся на равновесном расстоянии a и обладают случайными начальными скоростями <br> |
| − | <math>V_i = V_{rand}</math> ; <math>x_i = ai</math>; <math>y_i = 0</math> <br> | + | <math>V_i = V_{rand}</math> ; <math>x_i = ai</math>; <math>y_i = 0</math> |
| − | Граничные условия: Левый конец цепочки закреплен, правому задана постоянная скорость.<br>
| |
| − | <math>u_1 = 0</math>; <math>u_n = -Vt</math><br><br>
| |
| − | | |
| − | В ходе работы решались следующие
| |
| − | задачи:<br>
| |
| − | 1. Построение модели дискретного
| |
| − | стержня и моделирование с разными
| |
| − | параметрами: температура, скорость
| |
| − | сжатия.<br>
| |
| − | 2. Обработка и анализ получившихся
| |
| − | зависимостей<br>
| |
| − | 3. Сравнение с континуальной
| |
| − | постановкой задачи. Задача Хоффа.<br>
| |
| − | | |
| − | ===Параметры системы===
| |
| − | Для проведения моделирование задаются следующие параметры:
| |
| − | масса частиц <math> m=1</math>, масштаб силы<math> f=12D/a=1</math>, равновесное расстояние<math> a=1</math>, жесткость
| |
| − | угловой пружины<math> c=fa=1</math>, количество частиц в цепочке<math> n=100</math>, скорость длинных
| |
| − | волн<math> v_0=√{6fa}=√6</math>, амплитуда начальных случайных скоростей (температура)<math> v_{rand}=5e^{-8} v_0</math>,
| |
| − | скорость сжатия цепочки<math> V=1.1e^{-6} v_0</math>.
| |
| − | | |
| − | Случайные начальные скорости определяют температуру системы.
| |
| − | | |
| − | ===Взаимодействия в системе===
| |
| − | В системе имеется два типа взаимодействия:<br><br>
| |
| − | 1. Потенциал Леннарда-Джонса: <br>
| |
| − | <math>П_{LG}=D[( \frac {a_0}{r})^{12}- 2(\frac {a_0}{r})^6 ]</math> <br>
| |
| − | где D - энергия взаимодействия; a0 – начальная длина; r – расстояние между частицами. <br>
| |
| − | Сила взаимодействия, соответствующая потенциалу Леннарда-Джонса, вычисляется по формуле: <br>
| |
| − | <math>F_{LG}=-П'_{LG}=12 \frac {D}{a_0}[( \frac {a_0}{r})^{13}- (\frac {a_0}{r})^7 ]</math><br><br>
| |
| − | 2. Потенциал угловой пружины:<br>
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 20-15-47.png|200px|thumb|right|Рис.5 Угловая пружинка]]
| |
| − | Частицы соединены угловой пружиной, как показано на Рис.2.<br>
| |
| − | <math>П_s= \frac {c_s(φ-π)^2}{2}</math><br>
| |
| − | где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.<br>
| |
| − | Силы, соответствующая потенциалу угловой пружины, вычисляются: <br>
| |
| − | <math>F_{i-1}=-\frac {∂П_s}{∂r_{i-1}}</math><br>
| |
| − | <math>F_i=-\frac {∂П_s}{∂r_i}</math> <br>
| |
| − | <math>F_{i+1}=-\frac {∂П_s}{∂r_{i+1}}</math><br>
| |
| − | | |
| − | ==Виды нагружения==
| |
| − | Для исследования задач о динамической потери
| |
| − | устойчивости стержня имеются следующие
| |
| − | варианты нагрузок:<br>
| |
| − | | |
| − | 1. Внезапное приложение силы (задача Ишлинского-
| |
| − | Лаврентьева)<br>
| |
| − | 2. Удар твердого тела о стержень<br>
| |
| − | 3. Сжатие с постоянной скоростью (Задача Хоффа)
| |
| − | | |
| − | ==Задача Хоффа==
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 20-01-02.png|200px|thumb|right|Рис.6 Стержень с начальной кривизной]]
| |
| − | В задаче Хоффа рассматривается стержень
| |
| − | с начальной кривизной.<br>
| |
| − | Задается уравнение поперечных колебаний балки:<br>
| |
| − | <math> \frac {∂^2}{∂x^2} (EI[\frac {∂^2 y}{∂x^2}-\frac {∂^2 y_0}{∂x^2}])+P\frac {∂^2 y}{∂x^2}+μA\frac {∂^2 y}{∂t^2}=0 </math> <br>
| |
| − | | |
| − | <math>\frac {∂^2 y(x=0)}{∂x^2}=\frac {∂^2 y(x=L)}{∂x^2}=0 </math> <br>
| |
| − | Уравнение для продольной силы:<br>
| |
| − | <math> P= \frac {EA}{L} (2ϑt-\frac {1}{2} ∫_0^L[(\frac {∂y}{∂x} )^2-(\frac {∂y_0}{∂x} )^2 ]dx)</math> <br>
| |
| − | Начальные и граничные условия:<br>
| |
| − | <math> y|_{x=0}=y|_{x=L}=0 </math><br>
| |
| − | <math> \frac{∂^2 y}{∂x^2} |_{x=0}= \frac {∂^2 y}{∂x^2} |_{x=L}=0 </math><br><br>
| |
| − | | |
| − | Данная задача решена в работе [4] и получено следующее решение: зависимость критической силы от скорости сжатия.<br>
| |
| − | | |
| − | <math> \frac {P_*}{P_E} =1+( \frac {3}{4Ω^{1/2}} ln(\frac {2}{πd^2 Ω}) )^{2/3}, Ω=π^8 (\frac {R}{L})^6 (\frac {υ_s}{υ}) </math><br>
| |
| − | где d – переменная характеризующая кривизну стержня,
| |
| − | Ω – функция скорости. <br>
| |
| − | Это решение мы используем для сравнения с результатами данной работы.<br>
| |
| − | В данной работе моделируется стержень
| |
| − | также с постоянной скоростью сжатия, но
| |
| − | вместо начальной кривизны, задается
| |
| − | начальная случайная скорость для частиц
| |
| − | цепочки (начальное отклонение)
| |
| − | | |
| − | ==Результаты моделирования==
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 23-15-45.png|400px|thumb|right|Рис.7 Продольная сила в стержне]]
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 23-17-41.png|300px|thumb|right|Рис.8 Продольная сила. Задача Хоффа. Взято со статьи [4]]]
| |
| − | Важно отметить, что для потери устойчивости в данной работе задается начальная случайная скорость (Vrand) для частиц цепочки. Она определяет температуру системы. А в задаче Хоффа в качестве неидеальности задается параметр d – кривизна.
| |
| − | ===Продольная сила в стержне===
| |
| − | Для определения значения критической силы строится зависимость продольной силы от времени для цепочки (Рис. 7), состоящей из материальных точек. И фиксируется первый максимум, который говорит о том, что стержень сжался до критической отметки и начинает терять свою прямолинейную форму. Схожая зависимость продольной силы от времени в стержне получается в задаче Хоффа(Рис. 8)
| |
| − | ===Зависимость критической силы от скорости сжатия при разных температурах===
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 23-22-49.png|400px|thumb|right|Рис.9 Зависимость критической силы от скорости сжатия]]
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 23-27-32.png|400px|thumb|right|Рис.10 Сравнение результатов с континуальной постановкой задачи]]
| |
| − | [[Файл:2016-06-19 23-26-09.png|400px|thumb|right|Рис.12 Сравнение результатов с континуальной постановкой задачи]]
| |
| − | [[Файл:2016-06-20 00-32-40.png|400px|thumb|right|Рис.13 Вторая форма потери устойчивости]]
| |
| − | Теперь рассмотрим зависимость критической силы от скорости сжатия стержня с заданной амплитудой случайных начальных скоростей (Рис.9). И для получения размаха проведем несколько реализации, поскольку начальные скорости заданы случайным образом. На данном графике (Рис.9) видно, что при стремлении скорости сжатия к нулю получаем значение критической силы равной силе Эйлера (Fe).
| |
| − | Показан тот факт, что действительно в динамике значение критической силы можно получить в несколько раз больше статической силы Эйлера. В данном случае в 12 раз больше. Далее строится аналогичная зависимость, но для разных начальных случайных скоростей частиц цепочки (Рис. 10) и сравнивается с решением, полученным в континуальной постановке задачи. <br><br>
| |
| − | | |
| − | Приведено два графика (Рис.10-11), поскольку стоит отметить, что при локально малых скоростей сжатия видно качественное сходство в полученных результатах и решении задачи Хоффа.
| |
| − | При построении графика по формуле (19) подбирался коэффициент d (кривизна) таким образом, чтобы получить максимально близкие значения критических сил к тем, что были определены в данной работе с разными случайными начальными скоростями.
| |
| − | Диапозон скоростей сжатия (0 – 0.0002) в заданной конфигурации взят неслучайно. При данных значениях мы получаем первую форму потери устойчивости.
| |
| − | | |
| − | ===Вторая Форма потери устойчивости===
| |
| − | Вторая форма потери устойчивости имеет следующий геометрический вид (Рис.2)
| |
| − | Определим, при каких начальных скоростей сжатия получается вторая форма потери устойчивости дискретного стержня. И каким образом на это влияет тепловое движение.
| |
| − | Для этого построим зависимость критической силы от начальных скоростей сжатия, взятых в больших диапазонах (Рис.13).
| |
| − | | |
| − | ==Результаты и выводы работы==
| |
| − | В ходе работы были получены следующие результаты:<br><br>
| |
| − | 1. Проведено моделирование потери устойчивости стержня<br>
| |
| − | 2. Амплитуда случайных скоростей частиц существенно влияет <br>
| |
| − | на величину критической силы
| |
| − | 3. Показано, что зависимость критической силы от скорости
| |
| − | сжатия для цепочки при малых скоростях хорошо описывает
| |
| − | поведение стержня в континуальной постановке задачи при
| |
| − | его сжатии<br>
| |
| − | 4. Показано влияние теплового движения на получение второй
| |
| − | формы потери устойчивости.<br>
| |
| − | ==Материалы работы==
| |
| − | *'''[[Медиа:Моделирование динамической потери устойчивости дискретных стержней при сжатии 0.pptx|Презентация работы(pptx)]]'''
| |
| − | *'''[[Медиа:Постер Киселев.pdf|Превью(pdf)]]'''
| |
| − | *'''[[Медиа:Постер Киселев.pdf|Плакат(pdf)]]'''
| |
| − | | |
| − | ==Список литературы==
| |
| − | [1] Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем. Докл. АН СССР, 64, №6, 1949, 779-782 <br>
| |
| − | [2] Heinzerling H. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des Knicksproblems des geraden Stabes: Diss., 1938<br>
| |
| − | [3] Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. Наука, М., 1986<br>
| |
| − | [4] Kuzkin V.A., Dannert M.M. Buckling of a column under a constant speed compression: a dynamic correction to the Euler formula // Acta Mechanica, 227(6), 1645-1652, 2016, DOI: 10.1007/s00707-016-1586-5<br>
| |
| − | [5] Karagiozova,D., Alves,M.: Dynamic elastic-plastic buckling of structural elements: A Review. Applied Mechanics Reviews 61 (2008). doi: 10.1115/1.2939481<br>
| |
| − | [6] Kornev,V.M.: Development of dynamic forms of stability loss of elastic systems under intensive loading over a finite time interval. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 13(4), 536–541 (1974).<br>
| |
| − | [7] Kornev,V.M.: Asymptotic analysis of the behavior of an elastic bar under aperiodic intensive loading, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 13(3), 398–406 (1974).<br>
| |
| − | [8] Markin,A.V.: Buckling in an elastic rod under a time-varying load. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 18(1), 134–138 (1977).<br>
| |
| − | [9] Andrew Noske «Efficient Algorithms for Molecular Dynamics Simulations and Other Dynamic Spatial Join Queries»<br>
| |
| − | [10] Lei Shi, Philip Rohringer «Confined linear carbon chains as a route tobulk carbyne», (2016)<br>
| |
| − | [11] Steven W Cranford «Thermal stability of idealized folded carbyne loops», (2013)<br>
| |
