Редактирование: Васильев Максим Диплом

== Моделирование падения двумерной цепочки ==

Смоделировать падение двумерной цепочки в поле силы тяжести при отпускании одного из концов. Цепочка представляет собой соединенные между собой точечные массы.

::<math>m</math> - масса частиц,  

::<math>k</math> - жесткость пружин ,  

::<math>l0</math> - равновесное расстояние,  

::<math>\mathbf{g}</math> - ускорение свободного падения (вектор). <math>g</math> - его модуль

::<math>N</math> - количество частиц.  

::<math>\beta</math> - коэффициент вязкости

::<math>\bf{K_1}</math> - количество движения материальной точки

::<math>\mathbf{\dot{K_1}} = \sum\mathbf{F}</math>

::<math> \mathbf{\dot{K_1}} = (m\dot{\mathbf{R}}\dot{)} </math>

::<math> \mathbf{R} = R_x\mathbf{e_x} + R_y\mathbf{e_y} </math>

::<math> \mathbf{\dot{R}} = V_x\mathbf{e_x} + V_y\mathbf{e_y} </math>

::<math> \mathbf{\ddot{R}} = A_x\mathbf{e_x} + A_y\mathbf{e_y} </math>

::<math> \sum{\mathbf{F}} = -k(\Delta{\mathbf{r}}_{n-1} + \Delta{\textbf{r}}_{n+1}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}}  </math>

::<math> l_{left} = \sqrt{(x_{n}-x_{n-1})^2 + (y_{n}-y_{n-1})^2)} </math>

::<math> \mathbf{e}_{n+1,n} = \frac{(x_{n}-x_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{y}} </math>

4. Подставим все полученные соотношения в баланс количества движения и определим проекции сил на координатные оси:

::<math> m*(A_xe_x + A_ye_y) = -k*(\frac{(l_{left} - l0)(x_{n}-x_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n-1})(l_{left} - l0)}{l_{left}}\mathbf{e_{y}} + \frac{(l_{right} - l0)(x_{n}-x_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n+1})(l_{right} - l0)}{l_{right}}\mathbf{e_{y}}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} </math>

::<math>\begin{cases}

F_x = mA_x = k(\frac{(l_{left}-l0)(x_{n-1}-x_{n})}{l_{left}} + \frac{(l_{right}-l0)(x_{n+1}-x_{n})}{l_{right}}) - \beta{V_x}\\

\end{cases} </math>

5. Решать полученные уравнения движения будем при помощи симплектического (сохраняющего энергию) метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах:

где i зменяется в промежутке от 0 до желаемого количества итераций моделирования (<math>maxiter</math>). Тогда время моделирования будет определяться как <math>t_{max} = dt*maxiter</math>.

::<math> V|_{t=0} = 0; V|_{x=0} = 0; V|_{x=N} = 0 </math>

В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже).  

Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов.