Редактирование: Васильев Максим Диплом
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 4: | Строка 4: | ||
1. Численно и аналитически решена задача с точечным единичным перемещением в центре бесконечной одномерной цепочки | 1. Численно и аналитически решена задача с точечным единичным перемещением в центре бесконечной одномерной цепочки | ||
+ | |||
+ | <div align = "center">{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/u1D.gif}}</div> | ||
2. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки | 2. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки | ||
Строка 17: | Строка 19: | ||
Таким образом получены соотношения позволяющие решить задачу с любыми начальными условиями и любыми силами, приложенными к любым частицам в одномерной и двумерной цепочках. | Таким образом получены соотношения позволяющие решить задачу с любыми начальными условиями и любыми силами, приложенными к любым частицам в одномерной и двумерной цепочках. | ||
− | == | + | == В рамках предмета "Дискретная механика" решена следующая задача == |
===Постановка задачи=== | ===Постановка задачи=== | ||
− | Смоделировать падение | + | Смоделировать падение дмумерной цепочки в поле силы тяжести при отпускании одного из концов. Цепочка представляет собой соединенные между собой точечные массы. |
− | + | ||
− | + | # m - масса частиц, | |
− | + | # k - жесткость пружин , | |
− | + | # l0 - равновесное расстояние, | |
− | + | # g - ускорение свободного падения, | |
− | + | # N - количество частиц. | |
− | + | # betta - коэффициент вязкости | |
− | + | # gamma - коэффициент относительной скорости частиц | |
===Математическая модель === | ===Математическая модель === | ||
Строка 34: | Строка 36: | ||
Как было сказано ранее, рассматривается двумерная цепочка с двумя закрепленными концами. Запишем для нее уравнения динамики: | Как было сказано ранее, рассматривается двумерная цепочка с двумя закрепленными концами. Запишем для нее уравнения динамики: | ||
− | 1. Баланс количества движения | + | 1. Баланс количества движения |
+ | |||
+ | <math>\mathbf{\dot(K_1)} = \sum\mathbf{F}</math> | ||
+ | |||
+ | <math> \mathbf{K1} = \dot{(m\dot{\mathbf{R}})} </math> | ||
+ | |||
+ | <math> \mathbf{R} = R_xe_x + R_ye_y </math> | ||
+ | |||
+ | <math> \mathbf{\dot{R}} = V_xe_x + V_ye_y </math> | ||
− | + | <math> \mathbf{\ddot{R}} = A_xe_x + A_ye_y </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | 2. Запишем равнодействующую сил, действующих на частицу | + | 2. Запишем равнодействующую сил, действующих на частицу |
− | + | <math> \sum{\mathbf{F}} = -k(\Delta{\textbf{r}}_{n-1} + \Delta{\textbf{r}}_{n+1}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} </math> | |
− | + | <math> \Delta{\mathbf{r}}_{n-1} = (l_{left} - l0)\mathbf{e}_{n,n-1} </math> | |
− | + | <math> \Delta{\mathbf{r}}_{n+1} = (l_{right} - l0)\mathbf{e}_{n,n+1} </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math> e_{n,n-1} = (x_{n}-x_{n-1})/l_{left}e_{x}+ (y_{n}-y_{n-1})/l_{left}e_{y} </math> | |
− | + | <math> e_{n,n+1} = (x_{n}-x_{n+1})/l_{right}e_{x}+ (y_{n}-y_{n+1})/l_{right}e_{y} </math> | |
+ | |||
+ | 3. Подставим все полученные соотношения в баланс количества движения и определим проекции сил на координатные оси | ||
+ | |||
+ | <math> m*(A_xe_x + A_ye_y) = -k((l_{left} - l0)(x_{n}-x_{n-1})/l_{left}e_{x}+ (y_{n}-y_{n-1})/l_{left}e_{y} + (l_{right} - l0)(x_{n}-x_{n+1})/l_{right}e_{x}+ (y_{n}-y_{n+1})/l_{right}e_{y}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} </math> | ||
Отсюда получим: | Отсюда получим: | ||
− | + | <math> mA_x = -k(l_{left}-l0)(x_{n-1}-x_{n})/l_{left} + (l_{right}-l0)(x_{n+1}-x_{n})/l_{left}) - \beta{V_x} </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math> mA_y = -k(l_{left}-l0)(y_{n-1}-y_{n})/l_{left} + (l_{right}-l0)(y_{n+1}-y_{n})/l_{left}) - \beta{V_x} - mg </math> | |
− | + | Решать полученные уравнения движения будем при помощи симплектического (сохраняющего энергию) метода Верле | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math> </math> | |
− | + | <math> </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===Выводы=== | ===Выводы=== | ||
Смоделировано падение двумерной цепочки, подвешенной за два конца при отпускании одного из них. Показано, что отпущенный конец движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения, а также, при достижении этим элементом цепочки крайней точки его траектории, можно наблюдать эффект хлыста. | Смоделировано падение двумерной цепочки, подвешенной за два конца при отпускании одного из них. Показано, что отпущенный конец движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения, а также, при достижении этим элементом цепочки крайней точки его траектории, можно наблюдать эффект хлыста. | ||
В рамках решения данной задачи было написано приложение с использованием программы App Designer, входящего в пакет Matlab, ссылка на которое будет расположена ниже. | В рамках решения данной задачи было написано приложение с использованием программы App Designer, входящего в пакет Matlab, ссылка на которое будет расположена ниже. | ||
− | В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже). | + | В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2, где N - число частиц в цепочке, g - ускорение свободного падения. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже). |
− | Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов. | + | Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени, где a - ускорение падения правого края цепочки, а g - ускорение свободного падения. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов. |
+ | |||
+ | Как было сказано выше, в процессе выполнения работы также удалось смоделировать эффект "хлыста" - резкое, скачкообразное увеличение ускорения цепочки при достижении ею нижней точки падения. Для разных параметров цепочки(массы, жесткости пружин, количества частиц, равноовесного расстояния между частицами) можно добиться ускорения в нижней точке в более, чем 50*g, где g - ускорение свободного падения. | ||
− | |||
===Полезные ссылки=== | ===Полезные ссылки=== |