Редактирование: Бублий И.Р.: Движение тела-точки в центральном потенциальном поле

Работу выполнил студент кафедры "Теоретическая механика" [[Бублий Илья]] ([[Группа 04]]).
== Руководитель == 
Руководитель [http://www.spbstu.ru СПбГПУ]: д.ф.-м.н [[Е.А. Иванова]]
== Аннотация ==
Классическая механика, как метод изучения физических процессов, не имеет внутри себя ограничений на область применения. Естественно, каждая используемая модель имеет ограниченную область применения. Перспективным направлением развития классической механики является создание и использование более сложных базовых моделей. С помощью этих моделей можно описывать явления, ранее считавшиеся неподвластными методу классической механики.
Данная работа посвящена описанию движения тела вблизи центра притяжения методами механики Эйлера. В качестве тела используется базовая модель тела-точки, введенная в рассмотрение П.А. Жилиным [1]. Тело-точка общего вида является обощением модели бесконечно малого абсолютно твердого тела [5], а соответственно и материальной точки [6]. Тело-точка - это материальный объект, занимающий нулевой объем в пространстве. В отличие от материальной точки, тело-точка совершает не только трансляционные, но и вращательные движения. Фактически, определением тела-точки является задание его кинетической энергии в следующем виде [1]:

<math>
K=m(\dfrac{1}{2} \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{v}+B \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\omega}+\dfrac{1}{2}J  \boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega})
</math>

Здесь <math>\boldsymbol{v}</math> - вектор трансляционной скорости, <math>\boldsymbol{\omega}</math> - вектор угловой скорости, <math>m</math> - масса тела-точки, <math>B, J</math> - тензоры инерции тела-точки. Нетрудно видеть, что кинетическая энергия тела-точки имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия абсолютно твердого тела. При этом в отличие от твердого тела, тензор <math>B</math> тела-точки не обязан обладать свойством антисимметричности [7].
Целью данной работы является решение задачи о движении тела-точки вблизи неподвижного центра притяжения, анализ влияния параметров задачи на вид решения, получение пространственных траекторий движения.
Полученные результаты могут быть использованы для описания движения планет и спутников [4], движения заряженных частиц, движения тел в магнитном и электрическом полях, поведение сред, частицы которых имеют вращательные степени свободы. Тем не менее, в основной части работы автор будет оперировать абстрактными механическими величинами без привязки к конкретной области применения.
== Постановка задачи ==
Численно исследовать решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (их вывод подробно описан в работе) следующего вида:

<math>
\boldsymbol{r}''+\boldsymbol{\Omega}'=-\dfrac{\boldsymbol{r}}{r^3}
</math>

<math>
\boldsymbol{r}''+J^* \boldsymbol{\Omega}' =\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}'
</math>

Начальные условия:

<math>
\boldsymbol{r}(0)=\boldsymbol{r_0},\quad \boldsymbol{r}'(0)=\boldsymbol{v_0},\quad \boldsymbol{\Omega}(0)=\boldsymbol{\Omega_0}
</math>
== Результаты численных расчетов ==
Далее параметр <math>J^*=100</math>. Соотношение между векторами начального радиуса-вектора и начальной скорости выбрано таким, при котором материальная точка двигалась бы по окружности. Рассмотрены три варианта направления вектора начальной угловой скорости <math>\boldsymbol{\Omega_0}</math>. В каждом случае варьировался его модуль.
{|align="center"

 |[[Файл:b1.jpg|700px|thumb]]

 |}
== Зависимость характера траектории от параметра <math>B \cdot m=10^n</math> кг<math> \cdot</math> м ==

{|align="center"

 |[[Файл:bublii_013.jpg|700px|thumb]]
 |[[Файл:bublii_014.jpg|500px|thumb]]

 |}
== Система Земля-Луна ==
Расчеты проводились для параметров задачи о движении Луны вокруг Земли. Дополнительный параметр <math>B \cdot m</math> варьировался в широких пределах. При значениях <math>B \cdot m</math> порядка <math>10^{22}</math> кг <math>\cdot</math>м траектория тела-точки напоминает о колебаниях угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики (type 2)
== Частное решение задачи, <math> |\boldsymbol{K_1}|=const</math> ==
Начальные условия должны быть такими, что:

<math>
\boldsymbol{v_0}\cdot(\boldsymbol{v_0}+B \boldsymbol{\omega_0})=\dfrac{A}{m |\boldsymbol{R_0}|}, \quad \boldsymbol{R_0}\cdot(\boldsymbol{v_0}+B \boldsymbol{\omega_0})=0
</math>

В этом случае задача сводится к решению уравнения для <math>|\boldsymbol{R}|</math>:

<math>
\dfrac{d^2 |\boldsymbol{R}|^2}{dt^2}+\dfrac{B^2 |\boldsymbol{K_1}|^2}{m^2 (J-B^2)^2}|\boldsymbol{R}|^2 - \dfrac{2 J A}{m (J-B^2)}\dfrac{1}{|\boldsymbol{R}|}=\dfrac{B^2 (|\boldsymbol{K}|^2+|\boldsymbol{K_2}|^2)-2 J^2 |\boldsymbol{K_1}|^2}{m^2 (J-B^2)^2}
</math>

Начальные условия:

<math>
|\boldsymbol{R}||_{t=0}=|\boldsymbol{R_0}|, \quad \dfrac{d|\boldsymbol{R}|}{dt}|_{t=0}=\dfrac{\boldsymbol{v_0}\cdot \boldsymbol{R_0}}{|\boldsymbol{R_0}|}
</math>

== Для частного решения доказаны следующие факты: ==
1. Если <math>\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0}=0</math>, траектория - окружность, <math>|\boldsymbol{R}|=const</math>.

Если <math>\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0} \ne 0</math>, траектория - пространственная кривая.

При любых начальных условиях <math>|\boldsymbol{R}| \ne const</math>

2. Пусть <math>\boldsymbol{R_0}\cdot\boldsymbol{v_0} \ne 0</math>. Введем обозначение <math>Cos \beta = \dfrac{\boldsymbol{K_1}\cdot\boldsymbol{K_2}}{|\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}</math>

Из интеграла энергии:
<math>\dfrac{1}{|\boldsymbol{R}|}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{R_0}|}+\dfrac{2 B |\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}{A m (J-B^2)}(Cos \beta-Cos \beta_0)</math>

Тогда <math> R_1 \le |\boldsymbol{R}|\le R_2,\quad</math>  где <math> \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} =\dfrac{2 B |\boldsymbol{K_1}||\boldsymbol{K_2}|}{A M (J-B^2)} </math>

== Результаты численных расчетов ==
Параметры задачи выбраны так, чтобы траектории тела-точки находились в тонком концентрическом шаровом слое, подобном электронному облаку в атоме водорода.

{|align="center"

 |[[Файл:b2.jpg|700px|thumb]]

 |}
== Основные результаты ==
Исследованы зависимости радиуса вектора, количества движения и собственного кинетического момента от начальных условий и параметра <math>J^*</math>.

Установлено, что возможно движение, при котором угол наклона плоскости орбиты тела-точки к плоскости, ортогональной вектору полного кинетического момента, совершает колебания, подобные колебаниям угла наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики.

Установлено, что существуют траектории, лежащие в сферическом слое, аналогичном электронной орбитали вокруг атома водорода в невозбужденном состоянии. Найдены параметры, регулируя которые можно менять толщину этого слоя.