Редактирование: "Распространение тепла в кристалле со случайными перемещениями и нулевыми скоростями"

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Полинов Михаил]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019

==Постановка задачи==
1) Реализовать распространение тепла в одномерном кристалле со случайными перемещениями и нулевыми скоростями в начальный момент времени

2) Сравнить с распространением тепла в одномерном кристалле со случайными скоростями и нулевыми перемещениями в начальный момент времени

==Построение модели==
Рассмотрим одномерный кристалл: цепочку одинаковых частиц массы ''m'', соединенных одинаковыми линейными пружинами с жесткостью ''C''.

Уравнения динамики кристалла имеют вид:

<math> \ddot u_n = \omega_0^2 (u_{n-1} - 2u_n + u_{n+1}),\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}} ,</math><br>

где <math> u_n </math> - перемещение <math>n</math>-й частицы; <math>n</math> - индекс, принимающий произвольные целые значения, <math>C</math> - жесткость связи между частицами, <math>m</math> - масса частицы.

Кинетическая температура T определяется как:  <math> T(x)= \frac{m}{k_{b}}<\ddot u_i^{2}> </math><br>

==Результаты==

При исследовании колебаний энергии в одномерных кристаллах рассматривается два метода осреднения случайных процессов:

1. По пространству: система рассчитывается для большого количества частиц, делится на 𝑛 отрезков по 𝑚 частиц, после чего находится среднее
значение для каждого отрезка.

2. По ансамблю реализаций: осреднение производится по определенному количеству реализаций одной и той же системы (По ансамблю можно осреднять потому, что мы считаем один и тот же процесс, основанный на генерации случайных чисел).


Осреднение по пространству проводится следующим образом: 𝑁 частиц делится на 100 отрезков по 𝑁/100 частиц в каждом отрезке. Для каждого отрезка
находится среднее значение, которое и используется для построения графика.
Для каждой системы рассматривается 𝑅 реализаций. Температура усредняется
сначала по реализациям, а только потом по пространству




Рассматривается одномерный кристалл, состоящий из 𝑁 частиц. Исследуются
два случая:

1) В первом случае в начальный момент времени первая половина кристалла нагрета с помощью задания случайных скоростей частиц, вторая половина находится в состоянии покоя

* Число частиц <math>10^{4}</math>, число реализаций 200
[[File:chain1.gif]]

Распространение температуры в кристалле (по горизонтали длина кристалла, вертикали - температура)


2) Во втором случае в начальный момент времени всем частицам заданно случайное перемещение, при этом у первой половины перемещения в два раза больше

* Число частиц <math>10^{4}</math>, число реализаций 200
[[File:chain2.gif]]

Распространение температуры в кристалле (по горизонтали длина кристалла, вертикали - температура)


Сравнение двух случаев при числе частиц <math>10^{5}</math>, число реализаций 200

[[File:download.png]]
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
'''Текст программы на языке Python:''' <div class="mw-collapsible-content">
<syntaxhighlight lang="python" line start="1" enclose="div">
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import time
from numpy import pi
%matplotlib inline

from matplotlib import cm
from celluloid import Camera
camera = Camera(plt.figure(figsize=(8, 8)))

start = time.time()
Np = 10**4                 # mod 100
Ns = 12000                # mod 2
C = 1             
m = 1

w0 = np.sqrt(C/m)          
dt = (2*pi/w0)/40

T = np.zeros((int(Ns/2)-1,100))
def calculation(random_number):
    global T
    np.random.seed(random_number)
    U = np.zeros((2, Np))
    V = np.zeros(Np)
    # first step
#     V[:(Np)//2] = (np.random.random((Np)//2) * 2 - 1) 
#     U[1,:] = V*dt
    
    U[1,:Np//2] = (np.random.random(Np//2) * 2 - 1)*2*dt
    U[1,Np//2:] = (np.random.random(Np//2) * 2 - 1)*dt
    
    # next steps
    l = lambda x,y : (x[y-1] - 2*x[y]  + x[y+1]) 
    for k in range(0,int(Ns/2)-1):
        U[0,:Np-1] =  dt**2 * l( U[1],np.arange(0,Np-1) ) + 2*U[1,:Np-1] - U[0,:Np-1]
        U[1,:Np-1] =  dt**2 * l( U[0],np.arange(0,Np-1) ) + 2*U[0,:Np-1] - U[1,:Np-1]
        # velosity and temperature:
       
        V_2 = ((U[1] - U[0])/dt)**2
        T[k,:] = T[k,:] +  np.mean(V_2.reshape(100,int(Np/100)), axis=1)

Number_of_realization = 200
for i in np.random.random(Number_of_realization):
    calculation(int(i*100))

x = np.arange(1,101)
for k in range(59):
    y = T[k*100,:]/(Number_of_realization)
    y = y - np.mean(y[80:])
    plt.plot(x, y/np.mean(y[:20]), color='blue')
    camera.snap()
anim = camera.animate(blit=True)
anim.save('chain2.gif')

end = time.time()
print(end-start)

</syntaxhighlight>
</div>
</div>


=== См. также ===

*[[Метод динамики частиц]]
*[[Механика дискретных сред]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]
*[[Виртуальная лаборатория]]
*[[Курсовые_работы_по_ТОМДЧ:_2012-2013| Курсовые работы 2012-2013 учебного года]]
*[[Курсовые_работы_по_ТОМДЧ:_2013-2014| Курсовые работы 2013-2014 учебного года]]
*[[Курсовые_работы_по_ВМДС:_2014-2015 | Курсовые работы 2014-2015 учебного года]]
* [[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2016-2017 | Курсовые работы 2016-2017 учебного года]]


[[Category: Студенческие проекты]]
[[Category: Механика дискретных сред]]