Редактирование: Обтекание препятствия жидкостью

[[Виртуальная лаборатория]] > [[Цепочка под действием внешней силы]] <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Шварёв Николай]]

'''Группа:''' [[Группа 09|09]] (43604/1)

'''Семестр:''' осень 2016

== Описание метода ==

SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics, Гидродинамика сглаженных частиц) - вычислительный лагранжев метод для симуляции жидкостей и газа, который используется в биологии, астрофизике, баллистике, вулканографии, океанографии.

Сутью метода SPH является разбиение жидкости на дискретные элементы-частицы. Любая физическая величина любой частицы может быть получена путём суммирования соответствующих величин всех частиц которые находятся в пределах двух сглаженных с помощью функции ядра длин. 

Значение любой величины ''A'' на любом расстоянии '''r''' задается формулой:

<big><math>A(\pmb{r})= \sum_{j}m_{j}\frac{A_{j}}{ρ_{j}}W(|\pmb r -\pmb r_{j}|,h)  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad j = 1...N,</math></big>

где <math>m_{j}</math> - масса частицы j, <math>A_{j}</math> - значение величины A для частицы j, <math>ρ_{j}</math> - плотность частицы j, W - функция ядра, ''h'' - радиус обрезания.

Таким образом, плотность любой частицы высчитывается по формуле:

<big><math>ρ(\pmb{r})= \sum_{j}m_{j}W(|\pmb r -\pmb r_{j}|,h)  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i,j = 1...N,</math></big>

В нашем случае роль функции ядра исполняет функция Люси:

<big><math> W(r < h) = \frac{5}{π{b}^{2}}(1+3\frac{r}{h}){(1-\frac{r}{h})}^{3},                </math></big>

где <math>r = |\pmb r - \pmb r_{j}|</math>

Используя уравнение Эйлера, уравнения изменения плотности и положения

<big><math>
\begin{cases}
\frac{d\pmb v}{dt} = -\frac{1}{ρ}∇P + \pmb g  \\
\frac{dρ}{dt} = -ρ∇\cdot\pmb v  \\
\frac{d\pmb r}{dt} = \pmb v  \\
\end{cases}
</math></big>

получаем уравнение движения каждой частицы:

<big><math>\frac{d\pmb v_{a}}{dt} = - \sum_{b}m_{b}(\frac{P_{b}}{{ρ_{b}}^{2}} + \frac{P_{a}}{{ρ_{a}}^{2}} + П_{ab})∇_{a}W_{ab} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad a,b = 1...N,</math></big>

где давление ''P'' в нашей задаче вычисляется по формуле:

<big><math>P = B (({\frac{ρ}{ρ_{0}}})^{\gamma} -1)</math></big>,

''B'' - модуль упругости, <math>ρ_{0}</math> - равновесная плотность.

А <math>П_{ab}</math> - член, отвечающий за вязкость, который в нашем случае рассчитывается так:

<big><math>П_{ab} = -\frac{\alpha h c}{ρ_{a b}}(\frac{\pmb v_{ab} \cdot \pmb r_{ab}}{{r_{ab}}^{2}+0.01{h}^{2}}) </math></big>

== Поставленная задача ==

Рассмотреть двумерную задачу о разрушении плотины: как поведет себя столб жидкости при разрушении (исчезновении) одной из стенок, удерживающей этот столб.

== Реализация ==