Редактирование: Маятник с растяжимой нитью

== Формулировка задачи ==
Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массы m, подвешенной на нити, длина которой изменяется по закону        
 <math>l=l_0+ct</math>

==Решение==
Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} </math> , где
 T - кинетическая энергия системы
 П - потенциальная энергия системы
 q - независимые обобщенные координаты

 В данной задаче в качестве обобщенной координаты возьмем угол отклонения нити от вертикали <math>q = \varphi </math>.

Выразим кинетическую и потенциальную энергии через обобщенную координату.

<math>x=l\sin(\varphi )</math>


<math>y=l\cos(\varphi )</math>

<math>\dot x= \dot l\sin(\varphi ) + l\cos(\varphi )\dot\varphi </math>

<math>\dot y= \dot l\cos(\varphi ) - l\sin(\varphi )\dot\varphi </math>

<math>V^{2}=\dot x^{2}+ \dot y^{2}</math>

<math>T= \frac{1}{2}\ m\ V ^{2}</math>
<math>T = \frac{1}{2}\ m\ (\dot l\ ^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2})</math>
<math>\Pi = m \ g\ l \cos(\varphi )\ </math>
Дифференцируя полученные выражения энергий и подставляя в уравнение Лагранжа результаты дифференцирования, получаем уравнение движения рассматриваемой системы:
<math>\ddot\varphi + 2\frac{\dot l}{l}\dot\varphi + \frac{g}{l} \sin(\varphi) = 0 </math>