Редактирование: Решение задач механики сплошной среды для слоистых структур

'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Марков Николай | Марков Николай]]<br>
''Научный руководитель'': [[А.М. Линьков]]<br>

==Введение==
Исследование слоистых структур имеет важное значение для задач теории упругости, механики материалов, теории поля и механики грунтов. Например, учет слоистости горной породы может увеличить точность получаемых результатов при численном моделировании распространения трещины гидроразрыва (ГРП).

Существует два основных подхода к решению задач для слоистых структур. Оба подхода используют геометрическую особенность слоистой структуры: слои представляют собой систему типа цепочки. Первый подход основан на использовании метода матричного переноса и его модификаций. Суть данного метода заключается в переносе значений усилий и смещений (или их линейной комбинации), заданных на границе между слоями, на соседнюю границу. Основной недостаток данного подхода состоит в физической некорректности одновременного переноса значений смещений и усилий, что ведет к низкой обусловленности квадратных матриц, используемых для связи значений на соседних границах. С увеличением числа слоев в рассматриваемой структуре это приводит к неустойчивости решения и увеличению ошибки.

В своих работах Р.М.Раппапорт впервые сводит решение задачи для слоистой структуры к решению трехточечных разностных уравнений. Такой подход позволяет использовать детально изученную теорию разностных уравнений и эффективные численные методы их решения. Для получения связи усилий и смещений на границах слоев в работах Р.М.Раппапорт используется Фурье преобразование. 

Подробное сравнение основных методов решения задач для слоистых структур представлено в работе А.М.Линькова и Н.А.Филиппова в которой показано, что наиболее эффективный метод решения состоит в сведении исходной задачи к решению трехточечных разностных уравнений. В качестве численного метода решения предлагается использовать устойчивый и эффективный метод прогонки. В отличие от метода матричного переноса, метод прогонки не теряет устойчивость при увеличении числа слоев.

Особый интерес представляет исследование слоистой среды, содержащей неоднородности. Решение такой задачи можно получить с использованием метода граничных элементов (МГЭ), или метода конечных элементов (МКЭ). Использование МКЭ приводит к ряду сложностей, таких как высокий порядок конечной алгебраической системы, учет точек сингулярностей и разрывов. Применение МКЭ приводит также к трудностям при рассмотрении очень тонких слоев, так как необходимое сгущение сетки приводит к заметному увеличению порядка конечной алгебраической системы.

Наиболее оптимальным методом решения линейных задач для слоистых структур с неоднородностями является метод граничных элементов, включающий в себя нахождение функции Грина для слоистой структуры без неоднородностей. Такой подход позволяет свести решение исходной задачи к решению интегральных уравнений с синугулярными и гиперсингулярными ядрами, заданных только на границах неоднородностей. В результате, порядок конечной алгебраической системы равен суммарному числу узлов на границах неоднородностей.

Цель данной работы состоит в эффективной численной реализации алгоритма решения задач для слоистых структур с неоднородностями, и исследовании его ключевых особенностей. Эффективность численного алгоритма достигается благодаря двум важнейшим факторам:

*Геометрическая особенность слоистой структуры позволяет применять эффективный метод прогонки для нахождения решения. Использование метода прогонки приводит к  существенному уменьшению количества операций, необходимых для получения решения(<math>O(n)</math> вместо <math>O(n^3)</math>  для метода Гаусса.)

*Рассматриваемые уравнения линейные, а границы слоев плоские и параллельные. Эти два условия позволяют применять преобразование Фурье. В численной реализации использование быстрого преобразования Фурье приводит к уменьшению количества операций и времени расчета (вместо <math>O(n^2)</math> проводится только <math>O(n\ln (n))</math> операций).

Большой практический интерес также представляют:

*Точность численного нахождения функции Грина слоистой среды

*Особенности использования дискретного преобразования Фурье

*Исследование логарифмической особенности функции Грина

==Список использованной литературы==
* Aleynikov S.M., Spatial Contact Problems in Geotechnics , Foundations of Engineering Mechanics, 2011.

* Brebbia C.A.,  Boundary Element Techniques in Computer-Aided Engineering, 1984

* Brebbia C.A., Tells J.C.F., Wrobel L.C., Boundary Element Techniques, Springer, 1984

* Crouch S.L., Starfield A.M., Boundary Element Method in Solid Mechanics, 1983

* Dobroskok A.A., Linkov A.M., Complex variable equations and the numerica solution of harmonic problems for piecewise-homogeneous media, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 73 (2009) 313-325

* Filippov N.A., Linkov A.M., Milova L.A., Zoubkov V.V., A Method to Calculate Stresses and Deformations in 3D Layered Strata, Advances in Rock Mechanics, 1998

* Linkov A.M., Filippov N.A., Difference Equations Approach to the Analysis of Layered Systems, Meccanica, 26:195-209

* Linkov A.M., Linkova A.A., Savitski A.A., An Effective Method for Multi-Layered Media with Cracks and Cavities, International Journal of Damage Mechanics, 1994.

* Linkov A.M. Boundary Integral Equations in Elasticity Theory, SOLID MECHANICS AND ITS APPLICATIONS, Vol.99, 2002

* Maier G., Novati G., On boundary element-transfer matrix analysis of layered elastic systems, 7th Intrnat. Conf. on Boundary Elements in Engineering, Como (Italy), pp. 1-28, 1985.

* Novati G., On the analysis of elastic layers by a Fourier series, Green's function approach, Atti Accad. Naz. Lincei, 293-304, 1987.

* Ruppoport R.M., To the question of finding the solution of axisymmetric and plane elasticity problems for multilayered media, Proc. Hydrotechnical Institute, Leningrad, 1963.

* Ruppoport R.M., To the question of finding the solution for displacements of three-dimensional elasticity problem for multilayered half-space, Proc. Hydrotechnical Institute, Leningrad, 1966.

* Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К., Об использовании метода функций податливости при решении граничных задач для многослойных оснований, 1979.

* Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы: введение в теорию, Наука, 1977

* Никишин В.С., Шапиро Г.С., Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред, 1970.

* Оболашвили Е.И., Преобразование Фурье и его применения в теории упругости , Тбилиси, Мецниереба, 1979.

* Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы, Наука, Москва, 1989.

* Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений, Наука, Москва, 1978.

* Шевляков Ю.А., Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред, 1977.