Редактирование: Фазовые переходы МД

[[Виртуальная лаборатория]] > [[Фазовые переходы МД]] <HR>

=Задача=

Переход от кристаллической структуры к газу. В направлении абсцисс используются периодические ГУ, в направлении оси ординат один ряд частиц фиксирован, с другой стороны несколько рядов частиц (3-5) нагреваются посредством [https://en.wikipedia.org/wiki/Berendsen_thermostat термостата Берендсена] (регулируемые параметры). Частицы взаимодействуют посредством потенциала. Уравнения движения интегрируются методом [https://en.wikipedia.org/wiki/Leapfrog_integration Leapfrog]. Система забывает об улетевших частицах.

==Задача I==

Написать графический интерфейс, позволяющий наблюдать движение частиц. Предусмотреть возможность отключаемого отображения: температуры (цветом), скорости (светом и отрезком), связей между частицами (отрезком). Реализовать возможность выбора частицы мышкой и вывода подробной информации (номер, скорость, сила).
Список Группы:
* [http://tm.spbstu.ru/Нарядчиков_Александр Нарядчиков Александр]
* Лебедев Станислав
* Демченко Артем
* Киселев Лев

==Задача II==

Основные элементы расчетной части: Запуск расчета, создание образца с треугольной решеткой, задание начальных условий, определение связей, интегрирование уравнений движения методом [https://en.wikipedia.org/wiki/Leapfrog_integration Leapfrog], расчет сил парным потенциалом. Удаление улетевших частиц.

Список Группы:
* Абрамов Игорь
* Ляжков Сергей
* Сенников Иван
* Степаняц Степан
* Лосева Татьяна

==Задача III==

Расчет сил потенциалом [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера#Потенциал Бреннера второго поколения|Бреннера второго поколения]], создание решетки графена, расчет связей, [https://en.wikipedia.org/wiki/Berendsen_thermostat термостат Берендсена].

Список Группы:
* Давыдова Алена
* Бальцер Анастасия
* Васильева Анастасия
* Иванова Яна
* Лобанов Илья

==Задача IV==

Расчет сил потенциалом [https://en.wikipedia.org/wiki/Embedded_atom_model погруженного атома] для [http://www.ctcms.nist.gov/potentials/Fe.html Железа]. Задание периодических граничных условий.

Список Группы:
*[http://tm.spbstu.ru/%D0%A0%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%A0%D0%B0%D0%B8%D1%81%D0%B0 Рубинова Раиса ]
*Андреева Полина
*Белоусова Екатерина
*Тимошенко Валентина
*Уманский Александр

==Решение задачи==
Открывать лучше в Mozile FireFox, либо настраивать аппаратное ускорение самому (если программа не открывается)
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Lebedev/Phase_Transition_MD_2017/Main.html |width=1300 |height=750 |border=0 }}

== Потенциал Бреннера второго поколения ==

Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
в виде <ref name="Brenner2"/>:

<math>
    E_b = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
</math>
В свою очередь силу, действующую на частицу с номером I можно рассчитать как минус градиент энергии (производная по радиус-вектору частицы i )

<math>
\vec{F}_i = - \sum \limits_{j \neq i} \left[ \frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i}-\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i}V^A(r_{ij})-b_{ij}\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \right], 
</math> 

Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:

<math>
\frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A e^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) Q \frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}^3}Ae^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A a e^{-ar_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}. 
</math> 

<math>
    V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
</math>

где

<math>
    f^c (r) = \left\{
    \begin{array}{l}
        1,  \\
        \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
        0, \\
    \end{array} \right.
    \begin{array}{l}
        r < D_{\min}, \\
        D_{\min} < r < D_{\max}, \\
        r > D_{\max},
    \end{array}
</math>

<math>
\frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \left\{ 
\begin{array}{l} 
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} < D_{min} \\ 
\sin{\left( \pi \frac{(r_{ij}-D_{min})}{(D_{max} - D_{min})} \right)} \cdot \frac{\pi \vec{r}_{ij}}{(D_{min}- D_{max})r_{ij}}, \ \ \ \ \mbox{при} D_{min} < r_{ij} < D_{max} \\ 
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} > D_{max} 
\end{array} \right. 
</math>
 
<math>
\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot \sum \limits_{n=1,3} B_n e^{-\beta_nr_{ij}} + f^c(r_{ij}) \cdot \sum \limits_{n=1,3}B_n \beta_n e^{-\beta_nr_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}. 
</math>



Параметры имеют вид:

<math>
    \begin{array}{l}
    B_1  = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1  = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
    0833 \,\mbox{Å},\\
    B_2  = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
    \,\mbox{eV},\\
    B_3  = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3  = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
    \,\mbox{Å}^{-1},\\
     D_{\min}  = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max}  = 2.0 \,\mbox{Å}.
   \end{array}
</math>

Множитель <math>b_{ij}</math> равен <math>b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>
а, соответственно его производная <math>
\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial B_{ij}}{\vec{r}_i}+ \frac{\partial B_{ji}}{\partial \vec{r}_i} \right) . 
</math>, где

<math>
    B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
    \right]^{-1/2},
</math>

А производная<math>B_{ij}</math> считается по следующей формуле

<math>
\frac{\partial B_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \sum \limits_{k \neq i,j} \left[ \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot G(\cos{(\theta_{ijk})}) + f^c(r_{ik}) \cdot \frac{\partial G(\cos{(\theta_{ijk})})}{\partial \vec{r}_i} \right] . 
</math> 

<math>
\frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \cos{\theta_{ijk}}} \cdot \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i}. 
</math> 

где <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>. Функция <math>G(\cos\theta)</math> строится как полином через значения функции и ее
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза (<math>\theta =
\arccos(-1/3)</math>) и графена (<math>\theta = 2 \pi / 3</math>):

{| class="wikitable"
|  <math>\theta(rad)</math>
|  <math>G(\cos \theta)</math>
|  <math>dG(\cos \theta) / d\cos \theta</math>
|  <math>d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2</math>
|-
|  <math>0.6082\pi</math>
|  <math>0.097 33</math>
|  <math>0.400 00</math>
|  <math>1.980 00</math>
|-
|  <math>2\pi / 3</math>
|  <math>0.052 80</math>
|  <math>0.170 00</math>
|  <math>0.370 00</math>
|}

Производные от косинуса по радиус-векторам i-ой и j-ой частицы  высчитываются так (где i – вершина угла):

<math>
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ij} \times \vec{r}_{ik} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}} + \frac{\vec{r}_{ik} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ik}^3 r_{ij}},\ \ \ \ \mbox{i —- вершина} 
</math> 

<math>
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_j} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}}. 
</math>