Редактирование: Динамическая потеря устойчивости дискретного стержня при сжатии

'''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br>
[[Файл:2016-04-25 20-15-09.png‎|350px|thumb|right|Рис.1 Первая форма потери устойчивости]]
[[Файл:2016-06-12 16-40-49.png‎|350px|thumb|right|Рис.2 Вторая форма потери устойчивости]]
[[Файл:2016-06-18 13-49-54.png‎|350px|thumb|right|Рис.3 Третья форма потери устойчивости]]
''Автор работы'': [[Киселев Павел| П. Д. Киселев]]<br>
''Руководитель'': [[Кузькин Виталий Андреевич | зам. зав. кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br>

==Введение==

Деформация стержней (колонн, балок) является классической задачей для механики твердых тел. Около пятидесяти последних лет активно изучались упругие системы и связанная с ними динамическая потеря устойчивости, приводящая к разрушениям.
Критические нагрузки относятся к наиболее тяжким последствиям природных и техногенных катастроф. Поэтому изучение динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей. 

==Постановка задачи==
[[Файл:2016-06-19 14-25-55.png‎|400px|thumb|right|Рис.4 Цепочка частиц]]
Рассматривается цепочка в двумерном пространстве, состоящая из материальных точек, соединенная линейными и угловыми пружинами (Рис.1)<br>
Уравнение движения: 
<math> m\bar{a} = \bar{F_c} + \bar{F_s} </math><br>
Начальные условия: Частицы находятся на равновесном расстоянии a и обладают случайными начальными скоростями <br>
<math>V_i = V_{rand}</math> ; <math>x_i = ai</math>; <math>y_i = 0</math> <br>
Граничные условия: Левый конец цепочки закреплен, правому задана постоянная скорость.<br>
<math>u_1 = 0</math>; <math>u_n = -Vt</math><br><br>

В ходе работы решались следующие
задачи:<br>
1. Построение модели дискретного
стержня и моделирование с разными
параметрами: температура, скорость
сжатия.<br>
2. Обработка и анализ получившихся
зависимостей<br>
3. Сравнение с континуальной
постановкой задачи. Задача Хоффа.<br>

===Параметры системы===
Для проведения моделирование задаются следующие параметры:
масса частиц, масштаб силы, равновесное расстояние, жесткость
угловой пружины, количество частиц в цепочке, скорость длинных
волн, амплитуда начальных случайных скоростей (температура),
скорость сжатия цепочки.

Случайные начальные скорости определяют температуру системы.

===Взаимодействия в системе===
В системе имеется два типа взаимодействия:<br><br>
1. Потенциал Леннарда-Джонса: <br>
<math>П_{LG}=D[( \frac {a_0}{r})^{12}- 2(\frac {a_0}{r})^6 ]</math> <br>
где D - энергия взаимодействия; a0 – начальная длина; r – расстояние между частицами. <br>
Сила взаимодействия, соответствующая потенциалу Леннарда-Джонса, вычисляется  по формуле: <br>
<math>F_{LG}=-П'_{LG}=12 \frac {D}{a_0}[( \frac {a_0}{r})^{13}- (\frac {a_0}{r})^7 ]</math><br><br>
2. Потенциал угловой пружины:<br>
[[Файл:2016-06-19 20-15-47.png|200px|thumb|right|Рис.5 Угловая пружинка]]
Частицы соединены угловой пружиной, как показано на Рис.2.<br>
<math>П_s= \frac {c_s(φ-π)^2}{2}</math><br>
где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.<br>
Силы, соответствующая потенциалу угловой пружины, вычисляются: <br>
<math>F_{i-1}=-\frac {∂П_s}{∂r_{i-1}}</math><br>
<math>F_i=-\frac {∂П_s}{∂r_i}</math> <br>
<math>F_{i+1}=-\frac {∂П_s}{∂r_{i+1}}</math><br>

==Виды нагружения==
Для исследования задач о динамической потери 
устойчивости стержня имеются следующие 
варианты нагрузок:<br>

1. Внезапное приложение силы (задача Ишлинского-
Лаврентьева)<br>
2. Удар твердого тела о стержень<br>
3. Сжатие с постоянной скоростью (Задача Хоффа)

==Задача Хоффа==
[[Файл:2016-06-19 20-01-02.png|200px|thumb|right|Рис.6 Стержень с начальной кривизной]]
В задаче Хоффа рассматривается стержень
с начальной кривизной.<br>
Задается уравнение поперечных колебаний балки:<br>
<math>	\frac {∂^2}{∂x^2} (EI[\frac {∂^2 y}{∂x^2}-\frac {∂^2 y_0}{∂x^2}])+P\frac {∂^2 y}{∂x^2}+μA\frac {∂^2 y}{∂t^2}=0   </math>  <br>

<math>\frac {∂^2 y(x=0)}{∂x^2}=\frac {∂^2 y(x=L)}{∂x^2}=0  </math>       <br>
Уравнение для продольной силы:<br>
<math> P= \frac {EA}{L} (2ϑt-\frac {1}{2} ∫_0^L[(\frac {∂y}{∂x} )^2-(\frac {∂y_0}{∂x} )^2 ]dx)</math>  <br>                        
Начальные и граничные условия:<br> 
<math> y|_{x=0}=y|_{x=L}=0 </math><br>
<math> \frac{∂^2 y}{∂x^2} |_{x=0}= \frac {∂^2 y}{∂x^2} |_{x=L}=0 </math><br><br> 

Данная задача решена в работе [4] и получено следующее решение: зависимость критической силы от скорости сжатия.<br> 

<math> \frac {P_*}{P_E} =1+( \frac {3}{4Ω^{1/2}}  ln⁡(\frac {2}{πd^2 Ω}) )^{2/3},    Ω=π^8 (\frac {R}{L})^6 (\frac {υ_s}{υ}) </math><br> 
где d – переменная характеризующая кривизну стержня,
Ω – функция скорости. <br>  
Это решение мы используем для сравнения с результатами данной работы.<br>
В данной работе моделируется стержень 
также с постоянной скоростью сжатия, но 
вместо начальной кривизны, задается 
начальная случайная скорость для частиц 
цепочки (начальное отклонение)

==Результаты моделирования==
[[Файл:2016-06-19 23-15-45.png|400px|thumb|right|Рис.7 Продольная сила в стержне]]
[[Файл:2016-06-19 23-17-41.png|300px|thumb|right|Рис.8 Продольная сила. Задача Хоффа. Взято со статьи [4]]]
Важно отметить, что для потери устойчивости в данной работе задается начальная случайная скорость (Vrand) для частиц цепочки. Она определяет температуру системы. А в задаче Хоффа в качестве неидеальности задается параметр d – кривизна. 
===Продольная сила в стержне===
Для определения значения критической силы строится зависимость продольной силы от времени для цепочки (Рис. 7), состоящей из материальных точек. И фиксируется первый максимум, который говорит о том, что стержень сжался до критической отметки и начинает терять свою прямолинейную форму. Схожая зависимость продольной силы от времени в стержне получается в задаче Хоффа(Рис. 8)
===Зависимость критической силы от скорости сжатия при разных температурах===
[[Файл:2016-06-19 23-22-49.png|400px|thumb|right|Рис.9 Зависимость критической силы от скорости сжатия]]
[[Файл:2016-06-19 23-27-32.png|400px|thumb|right|Рис.10 Сравнение результатов с континуальной постановкой задачи]]
[[Файл:2016-06-19 23-26-09.png|400px|thumb|right|Рис.12 Сравнение результатов с континуальной постановкой задачи]]
[[Файл:2016-06-20 00-32-40.png|400px|thumb|right|Рис.13 Вторая форма потери устойчивости]]
Теперь рассмотрим зависимость критической силы от скорости сжатия стержня с заданной амплитудой случайных начальных скоростей (Рис.9). И для получения размаха проведем несколько реализации, поскольку начальные скорости заданы случайным образом. На данном графике (Рис.9) видно, что при стремлении скорости сжатия к нулю получаем значение критической силы равной силе Эйлера (Fe).
Показан тот факт, что действительно в динамике значение критической силы можно получить в несколько раз больше статической силы Эйлера. В данном случае в 12 раз больше. Далее строится аналогичная зависимость, но для разных начальных случайных скоростей частиц цепочки (Рис. 10) и сравнивается с решением, полученным в континуальной постановке задачи. <br><br>

Приведено два графика (Рис.10-11), поскольку стоит отметить, что при локально малых скоростей сжатия видно качественное сходство в полученных результатах и решении задачи Хоффа.
При построении графика по формуле (19) подбирался коэффициент d (кривизна) таким образом, чтобы получить максимально близкие значения критических сил к тем, что были определены в данной работе с разными случайными начальными скоростями.
Диапозон скоростей сжатия (0 – 0.0002) в заданной конфигурации взят неслучайно. При данных значениях мы получаем первую форму потери устойчивости.

===Вторая Форма потери устойчивости===
Вторая форма потери устойчивости имеет следующий геометрический вид (Рис.2)
Определим, при каких начальных скоростей сжатия получается вторая форма потери устойчивости дискретного стержня. И каким образом на это влияет тепловое движение.
Для этого построим зависимость критической силы от начальных скоростей сжатия, взятых в больших диапазонах.

==Результаты и выводы работы==
В ходе работы были получены следующие результаты:<br><br>
1. Проведено моделирование потери устойчивости стержня<br>
2. Амплитуда случайных скоростей частиц существенно влияет <br>
на величину критической силы 
3. Показано, что зависимость критической силы от скорости
сжатия для цепочки при малых скоростях хорошо описывает 
поведение стержня в континуальной постановке задачи при 
его сжатии<br>
4. Показано влияние теплового движения на получение второй
формы потери устойчивости.<br>
==Список литературы==
[1] Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем. Докл. АН СССР, 64, №6, 1949, 779-782 <br>
[2] Heinzerling H. Mathematische Behandlung einiger grundlegender Fragen des Knicksproblems des geraden Stabes: Diss., 1938<br>
[3] Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. Наука, М., 1986<br>
[4] Kuzkin V.A., Dannert M.M. Buckling of a column under a constant speed compression: a dynamic correction to the Euler formula  // Acta Mechanica, 227(6), 1645-1652, 2016, DOI: 10.1007/s00707-016-1586-5<br>
[5] Karagiozova,D., Alves,M.: Dynamic elastic-plastic buckling of structural elements: A Review. Applied Mechanics Reviews 61 (2008). doi: 10.1115/1.2939481<br>
[6] Kornev,V.M.: Development of dynamic forms of stability loss of elastic systems under intensive loading over a finite time interval. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 13(4), 536–541 (1974).<br>
[7] Kornev,V.M.: Asymptotic analysis of the behavior of an elastic bar under aperiodic intensive loading, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 13(3), 398–406 (1974).<br>
[8] Markin,A.V.: Buckling in an elastic rod under a time-varying load. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 18(1), 134–138 (1977).<br>
[9] Andrew Noske «Efficient Algorithms for Molecular Dynamics Simulations and Other Dynamic Spatial Join Queries»<br>
[10] Lei Shi, Philip Rohringer «Confined linear carbon chains as a route tobulk carbyne», (2016)<br>
[11] Steven W Cranford «Thermal stability of idealized folded carbyne loops», (2013)<br>