Редактирование: Курсовые работы по ТОМДЧ: 2013-2014

'''Предмет:''' "[[Теоретические основы метода динамики частиц]]"

'''Лектор:''' [[Виталий Андреевич Кузькин]]

'''Группа:''' 40510 

'''Учебный год''': 2013-2014

'''Семестр:''' осень 2013

== Моделирование распространения поперечных волн в двумерном стрежне ==

''' Исполнители:''': [[Степанов Алексей]]
----

Рассматривается стержень, имеющий толщину в 1 атом. Взаимодействие между атомами, находящимися на расстоянии меньшем, чем радиус обрезания, описывается законом

<math>    \underline{F}(r) = k  \frac{\left|\underline{r}\right|-a_{0}}{\left|\underline{r}\right|}\underline{r} </math>

Здесь, <math>k</math> — жесткость связи, <math>\underline{r}</math> — радиус-вектор, соединяющий частицы и <math>a_{0}</math> равновесное расстояние. Радиус обрезания в работе выбран: <math> r_{cut} = 1.5 </math>.

Было смоделировано несколько различных задач:

* Отражение волны от свободного конца
* Отражение волны от заделанного конца
* Распространение волны без дисперсии
* Распространение волны с дисперсией

Во всех этих задачах, граничный условия на другом конце выглядели так:

<math>
\begin{cases}
        y(t) = A\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right), t < \frac{T}{2}\\
        F = 0, t > \frac{T}{2}
\end{cases}
</math>

Результаты:
* Отражение волны от свободного конца
[[Файл:Svob_conez.gif]]  
* Отражение волны от заделанного конца
[[Файл:Zadel.gif]]
*[[Media:Disper 2.gif | Распространение волны с дисперсией]]
* Соударение двух встречных волн
[[Файл:Vawes.gif]]

== Моделирование распространения продольных волн (MATLAB)== 

''' Исполнители:''' [[Краморов Данил]] 
----

Рассматривается бегущая по цепочке частиц продольная волна в разных постановках:

* Волна отражается от свободного конца
* Волна отражается от заделанного конца
* Волна с периодическими граничными условиями
* Волна с дисперсией

Под волной с дисперсией подразумевается рассеивание волны при уменьшении длины волны - по ходу движения за главным пиком вся явнее выражаются побочные.

Результаты:
* Отражение волны от свободного конца
[[Файл:wall_s.gif]]
* Отражение волны от заделанного конца
[[Файл:free_s.gif]]
* Волна с периодическими граничными условиями
[[Файл:P_periodic.gif]]
*Волна с дисперсией
[[Файл:dissipation_s.gif]]

== Моделирование цепочки частиц, анализ распределения скоростей ==

''' Исполнители:''' [[Дзенушко Дайнис]]
----
Рассматривается цепочка частиц с периодичными граничными условиями. Задаются начальные скорости частиц, т.е. вводится начальная температура.<br>
Исследуется распределение скоростей частиц от времени. В начальной конфигурации задается равномерное распределение скоростей.
<br><br>
Взаимодействие частиц описывается потенциалом Леннарда-Джонса который записывается в следующем виде:<br>
<math>U(r) = D \left[ \left(\frac{a}{r}\right)^{12} - \left(\frac{a}{r}\right)^{6} \right],</math><br>
r — расстояние между центрами частиц<br>
D  — глубина потенциальной ямы<br>
a — равновесное расстояние<br><br>

'''Результаты:'''<br>

* 40000 частиц, без диссипаций, радиус обрезания a_cut = 1.4 a0 (слева) и 5.1 a0 (справа), максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6 <br>
[[Файл:Dainis_Test_Ndiss_2.gif]][[Файл:Dainis_Test_Ndiss_3.gif]]
* 40000 частиц, с диссипацией B = 2.6 * Bo / 100, радиус обрезания a_cut = 1.4 a0, максимальные начальные скорости v0 = 0.5 * vo / 6 <br>
[[Файл:Dainis_Test_diss_6.gif]]<br>

== Моделирование выстрела из лука == 

''' Исполнители:''' [[Фролова Ксения]] 
----
'''Постановка задачи:'''<br>
В данной работе моделируется процесс выстрела из лука с целью получения качественного анализа поведения рассматриваемой механической конструкции.  Реализация происходит в среде разработки ''Code::Blocks''. <br>

В реальных моделях плечи лука являются упругими стержнями, а тетива – растяжимой нитью. <br>

Рассматривается плоская задача. В построенной модели плечи лука состоят из двух слоев частиц, находящихся друг от друга на расстоянии, равном равновесному, а тетива - из одного. Снаряд (стрела) также состоит из одного слоя частиц. Взаимодействие между частицами определяется законом (1):<br>
<math>    \underline{F}(r) = k  \frac{\left|\underline{r}\right|-a_{0}}{\left|\underline{r}\right|}\underline{r} </math>                   (1)
Где <br>
<math>k</math> — ''жесткость связи''<br>
<math>\underline{r}</math> — ''радиус-вектор, соединяющий частицы''<br>
<math>a_{0}</math> - ''равновесное расстояние''<br>

''Радиус обрезания'' <math> a_{cut} = 1.2 </math>; ''жесткость связи между частицами стрелы и тетивы'' <math>k_{1} = 0.3</math>; ''жесткость связи между остальными частицами'' <math>k_{2} = 0.9</math> <br>
Частицы, составляющие плечи лука, не взаимодействуют c<br>
* ''частицами тетивы (за исключением ушек – элемента тетивы, одеваемого на лук)''<br>
* ''частицами стрелы'' <br>

Плечи в недеформированном состоянии представляют собой полуокружность. При натянутой на лук тетиве конструкция находится в равновесии. 
Сила натяжения лука, приложенная к середине тетивы, задается статически – частица, находящаяся в середине тетивы, перемещается вдоль горизонтальной оси ox на величину <math> s = -0.0004a </math>.<br>
Начальная конфигурация лука представлена на рисунке 1.
<gallery widths=250px heights=250px perrow=2>
Файл:First.png‎|'''Рисунок 1'''. Начальная конфигурация лука.
</gallery>


'''Результат:'''<br>
<gallery widths=350px heights=200px perrow=2>
Файл:mod.gif‎|'''Процесс выстрела из лука'''
</gallery>
'''Обсуждение результатов и выводы:'''<br>
Из полученных результатов видно, что при отпускании тетивы (в момент, когда сила натяжения лука перестает действовать, т.е. частица, являющаяся серединой тетивы, останавливается) энергия, накопленная в деформированных за счет оттягивания тетивы плечах, преобразуется в кинетическую энергию полета стрелы. За счет этого, в свою очередь, и происходит движение снаряда в сторону разгибания дуги, стремящейся вернуться в исходное состояние равновесия системы. Это соответствует принципу действия реальных конструкций. <br>
''Замечания: <br>
*''В данной модели расстояние, на которое перемещается стрела, мало. Это объясняется наличием диссипации, а также достаточно малым значением энергии, передаваемой стреле, что, в свою очередь, объясняется малым значением смещения середины тетивы (если указать большое значение данной величины, модель рушится, т.к. энергии связи не хватает для преодоления прикладываемой силы)''. <br>
* ''Поскольку в модели не учитывается действие силы тяжести, стрела движется не по параболической траектории, как это происходит в реальности, а вдоль оси ox.''  <br>

== Отрицательное тепловое расширение ==

''' Исполнители:''': [[Ковалев Олег]]
----

Рассматривается система сферических твердых тел, образующих плоскую квадратную кристаллическую решетку. Предполагается, что в системе присутствуют только тепловые перемещения и вращения частиц. Приводятся выражения для напряжений возникающих в системе; потенциальной энергии; кинетической поступательной и вращательной энергий. Проводится сравнение с численным моделированием.

Введены следующие обозначения: 
<br>
<math>k</math> — ''жесткость связи''<br>
<math>\underline{R_a}</math> — ''радиус частицы''<br>
<math>\underline{A_a}</math> — ''радиус-вектор, соединяющий рассматриваемую частицу с соседней''<br>
<math>\underline{a_0}</math> — ''равновесное расстояние''<br>
<math>\underline{L_0}</math> — ''Расстояние между поверхностями частиц (текущая длина пружинки)''<br>
<math>V</math> — ''элементарный объем решетки''<br>
<math>\phi</math> — ''потенциал взаимодействия''<br>

Выражение для напряжений:


Выражение для потенциальной энергии:


Выражение для кинетической энергии:

Стоит отметить, что при стремлении радиуса частиц к 0, приведенные выше формулы сводятся к формулам, полученным в работе [1] для системы материальных точек.

Если выбрать в качестве потенциала взаимодействия упругую пружинку и устремить к нулю равновесное расстояние, то приведенные выше формулы сведутся к следующим:

Для данной системы было проведено численное моделирование и получено, что напряжение отличается меньше чем на 1%процент, потенциальная энергия на 1%, кинетическая поступательная и вращательная больше чем на 20%. Стоит отметить, что в эксперименте получено, что кинетическая тепловая энергия равна потенциальной тепловой энергии.
<br>
== См. также ==

*[[Метод динамики частиц]]
*[[Механика дискретных сред]]
*[[Теоретические_основы_метода_динамики_частиц]]
*[[Курсовые_работы_по_ТОМДЧ:_2011-2012| Курсовые работы 2011-2012 учебного года]]



[[Category: Студенческие проекты]]
[[Category: Механика дискретных сред]]