Хрупкое взаимодействие Леннард-Джонса
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Кафедра ТМ > Научный справочник > Потенциалы взаимодействия > Парные силовые > Хрупкое взаимодействие Леннард-Джонса
Хрупкое взаимодействие Леннард-Джонса (Brittle Lennard-Jones, BLJ) определяется на основе силы взаимодействия Леннард-Джонса с применением коэффициента формы, создающего потенциальный барьер, препятствующий слипанию частиц — см. интерактивный график ниже (перемещая слайдеры, проследите влияние коэффициентов).
Сила взаимодействия Леннард-Джонса:
—
классическая,
—
хрупкая
α =
acut = a
Текст программы построения графиков на языке JavaScript:
Файл "BLJ.js"
1 // Хрупкое взаимодействий Леннард-Джонса
2 // Brittle Lennard-Jones (BLJ) interaction
3 // Разработчик А.М. Кривцов
4 // 17.05.2014
5 // 06.11.2014 коррекция - удаление const (Цветков)
6 // Интернет: tm.spbstu.ru/BLJ
7
8 function MainBLJ(canvas) {
9
10 // Предварительные установки
11
12 var X_max = canvas.width;
13 var Y_max = canvas.height;
14
15 // Размерные параметры
16
17 var a = 1.; // длина связи
18 var D = 1.; // энергия связи
19
20 // Расчет констант взаимодействия
21
22 var b = a * Math.pow(13./7, 1./6); // положение минимума силы Леннард-Джонса (= 1.1086834 a)
23 var b2 = b * b;
24 var P0 = 12 * D / a; // коэффициент в выражении для силы Леннард-Джонса
25 var P = 42. / 169 * P0 / b; // модуль минимума силы Леннард-Джонса
26
27 // Переменные параметры взаимодействия
28
29 var al; // alpha - параметр взаимодействия
30 var ac; // радиус обрезания взаимодействия
31
32 var al1, ac2; // производные параметры
33
34 // Задание начальных значений параметров
35
36 set_al(1);
37 set_ac(1.5 * a);
38
39 // Область построения графика
40 var x_min = 0.9 * a;
41 var x_max = 2.5 * a;
42 var y_min = -1.2 * P;
43 var y_max = 2 * P;
44
45 var N = X_max; // число точек по оси x
46 var dx = x_max / N; // шаг по оси x
47 var sx = X_max / x_max; // масштаб по оси x
48
49 var sy; // масштаб по оси y
50 var Y0; // положение 0 оси y в экранных координатах
51 var context; // на context происходит рисование
52
53 // Установка флажков чекбоксов
54 var LJ_flag = true;
55 var BLJ_flag = true;
56
57 // настройка слайдеров и текстовых полей
58 Slider_01.min = 0;
59 Slider_01.max = 4;
60 Slider_01.step = 0.01;
61 Slider_01.value = al; // значение ползунка должно задаваться после min, max и step
62 Text_01.value = al;
63 Slider_02.min = 1.2 * a; // лучше было бы взять acSlider.min = b, но b не кратно значению acSlider.step, что портит слайдер
64 Slider_02.max = x_max;
65 Slider_02.step = 0.01 * a;
66 Slider_02.value = ac;
67 Text_02.value = ac;
68
69 draw();
70
71 // функция, запускающаяся при перемещении слайдера
72 this.set_01 = function(input) { set_al(input); draw(); }
73 this.set_02 = function(input) { set_ac(input); draw(); }
74
75 // Функции, запускающиеся при изменении элементов управления
76 this.setCheckbox_01 = function(bool) {LJ_flag = bool; draw(); }
77 this.setCheckbox_02 = function(bool) {BLJ_flag = bool; draw(); }
78
79 function set_ac(value)
80 {
81 ac = Number(value);
82 ac2 = ac * ac;
83 }
84
85 function set_al(value)
86 {
87 al = Number(value);
88 al1 = 1 + Math.sqrt(al / (1 + al));
89 }
90
91 // Отображение
92
93 function draw()
94 {
95 // Расчет параметров графики
96
97 sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y
98 Y0 = Y_max + y_min * sy; // положение 0 оси y в экранных координатах
99
100 context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
101
102 context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); // очистить экран
103
104 // Горизонтальная ось
105 context.strokeStyle = 'lightgrey';
106 context.beginPath();
107 context.moveTo(0, Y0);
108 context.lineTo(X_max, Y0);
109 context.stroke();
110
111 // Пунктирные линии
112 context.beginPath();
113 context.setLineDash([5]);
114 context.moveTo(b * sx, Y0);
115 context.lineTo(b * sx, Y0 + P * sy);
116 context.lineTo(0, Y0 + P * sy);
117 context.stroke();
118 context.setLineDash([0]);
119
120 // Надписи
121 context.fillStyle = 'black';
122 context.font = "italic 20px Times";
123 context.fillText("r", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
124 context.fillText("F", 5, 20);
125 context.fillText("0", 3, Y0 - 3);
126 context.fillStyle = 'grey';
127 context.fillText("a", a * sx + 3, Y0 - 3);
128 context.fillText("b", b * sx - 3, Y0 - 3);
129 context.fillText("-P", 3, Y0 + P * sy - 5);
130 if (BLJ_flag)
131 {
132 var dX = 0, dY = 17;
133 if (ac > 1.5) { dX = 10; dY = 0; }
134 if (ac > 2.38) { dX = 0; dY = 19; }
135 context.fillText("a", ac * sx - 10 + dX, Y0 - 4 + dY);
136 context.font = "12px Times";
137 context.fillText("cut", ac * sx + dX, Y0 - 3 + dY);
138 }
139
140 // Графики сил
141 Graph(F_BLJ, BLJ_flag, 'red');
142 Graph(F_LJ, LJ_flag, 'black');
143 }
144
145 // Построение графика функции
146
147 function Graph(F, flag, color)
148 {
149 if (!flag) return;
150
151 context.strokeStyle = color;
152 context.beginPath();
153 for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx)
154 {
155 var y = F(x);
156 var X = x * sx;
157 var Y = Y0 - y * sy;
158
159 if (Y > -Y_max) context.lineTo(X, Y); // Графика, сильно выходящяя за границы области, отключается
160 }
161 context.stroke();
162 }
163
164 // Потенциал Леннард-Джонса
165
166 function U_LJ(r)
167 {
168 var s2 = 1 / (r * r);
169 var s6 = s2 * s2 * s2;
170 return D * s6 * (s6 - 2);
171 }
172
173 // Сила Леннард-Джонса
174
175 function F_LJ(r)
176 {
177 var s2 = 1 / (r * r);
178 var s4 = s2 * s2;
179 return P0 * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1) * r;
180 }
181
182 // Укороченная сила Леннард-Джонса
183
184 function F_BLJ(r)
185 {
186 return k(r) * F_LJ(r);
187 }
188
189 // Rоэффициент формы
190
191 function k(x)
192 {
193 if (x > ac) return 0;
194 if (x < b) return 1;
195
196 var z = (x * x - b2) / (ac2 - b2)
197 var z2 = z * z;
198 return (1 + al) * (1 - al1 * z2) * (1 - al1 * z2) - al;
199 }
200
201 // Сглаживающий коэффициент
202
203 function k1(x)
204 {
205 if (x > ac) return 0;
206 if (x < b) return 1;
207
208 var z = (x * x - b2) / (ac2 - b2)
209 var z2 = z * z;
210 return (1 - z2) * (1 - z2);
211 }
212
213 }
Файл "BLJ.html"
1 <!DOCTYPE html>
2 <html>
3 <head>
4 <meta charset="UTF-8" />
5 <title>Brittle Lennard-Jones Interaction (BLJ)</title>
6 <script src="BLJ.js"></script>
7 </head>
8 <body>
9 <canvas id="canvasGraph" width="800" height="400" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
10
11 <!--Выбор графика (чекбоксы)-->
12 <div>
13 Сила взаимодействия Леннард-Джонса:
14 <font color="#000000" size="5"><B>—</B></font>
15 <input type="checkbox" id="checkbox_01" name="" onchange="app.setCheckbox_01(this.checked);" checked/>классическая,
16 <font color="#ff0000" size="5"><B>—</B></font>
17 <input type="checkbox" id="checkbox_02" name="" onchange="app.setCheckbox_02(this.checked);" checked/>хрупкая
18 </div>
19
20 <!--Установка параметров взаимодействия (текстовые поля и слайдеры)-->
21 <div>
22 <font face= "Times New Roman"><I>
23 α = <input id="Text_01" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
24 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
25 if (!this.checkValidity()) return;
26 app.set_01(this.value);
27 document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
28 ">
29 <input type="range" id="Slider_01" style="width: 100px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;">
30 a</I><SUB>cut</SUB> = <input id="Text_02" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
31 if (!this.checkValidity()) return;
32 app.set_02(this.value);
33 document.getElementById('Slider_02').value = this.value;
34 "><I> a</I>
35 <input type="range" id="Slider_02" style="width: 100px;" oninput="app.set_02(this.value); document.getElementById('Text_02').value = this.value;">
36 </font>
37 </div>
38
39 <script type="text/javascript">var app = new MainBLJ(
40 document.getElementById('canvasGraph')
41 );</script>
42
43 </body>
44 </html>
Сила взаимодействия определяется формулой , где — сила Леннард-Джонса, — коэффициент формы:
Здесь — расстояние, на котором реализуется минимальное значение силы Леннард-Джонса (расстояние разрыва связи), — радиус обрезания взаимодействия, — положительный параметр, определяющий хрупкость взаимодействия.
Согласно определению, силы и совпадают при , следовательно, для хрупкого и исходного взаимодействий совпадают такие характеристики, как жесткость и прочность связи, расстояние разрыва связи и критическая деформация. Хрупкое взаимодействие может быть построено аналогичным образом на основе любого парного взаимодействия, для которого определено расстояние разрыва связи .
Данное взаимодействие впервые предложено в работе
- Krivtsov A.M., Pavlovskaia E.E., Wiercigroch M. Impact Fracture of Rock Materials Due to Percussive Drilling Action. Proceedings of International Conference "XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics", 15 - 21 August 2004, Warsaw, Poland. (Download pdf: 417 kb).
