Решение задачи о действии сосредоточенной нагрузки на упругую плоскость (двумерная постановка)[править]
[math] ρ\ddot U = (\lambda +\mu ) \nabla \nabla \cdot U+\mu \Delta U + P \delta (x) \theta (t), U = U (x_1, x_2) ~~~~~ (1) [/math]
[math] U (t=0)=0[/math]
[math] \dot U (t=0)=0[/math]
Если сила направлена вдоль [math] x_1 [/math], то компонента перемещения вдоль этого направления:
[math] U =\frac{P}{4 \pi \rho }\left(\frac{1}{a^2 x_1} \theta \left(t-\frac{x_1}{a}\right) \left(a t \sqrt{a^2 t^2-x_1^2}+\left(x_1-2\right) x_1 \log \left(\frac{x_1}{\sqrt{a^2 t^2-x_1^2}+a t}\right)\right) - \frac{1}{b^2 x_1} \theta \left(t-\frac{x_1}{b}\right) \left(b t \sqrt{b^2 t^2-x_1^2}+x_1^2 \log \left(\frac{x_1}{\sqrt{b^2 t^2-x_1^2}+b t}\right)\right)\right)
[/math]
Решение задачи о действии сосредоточенной нагрузки на упругое пространство (трехмерная постановка)[править]
[math] ρ\ddot U = (\lambda +\mu ) \nabla \nabla \cdot U+\mu \Delta U + P \delta (x) \theta (t), U = U (x_1, x_2, x_3) ~~~~~ (1) [/math]
[math] U (t=0)=0[/math]
[math] \dot U (t=0)=0[/math]
Если сила направлена вдоль [math] x_1 [/math], то компонента перемещения вдоль этого направления:
[math] U = \frac{P \theta \left(t-\frac{x_1}{a}\right)}{4 \pi a^2 \rho x_1^3} \left(x_1^2 \theta \left(t-\frac{x_1}{a}\right)+\frac{1}{b^2} \left(\left(a^2 \left(b^2 t^2-x_1^2\right) \theta \left(\frac{x_1}{b}-t\right)+x_1^2 \left(a^2-b^2\right)\right) \theta \left(\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) x_1,t-\frac{x_1}{a}\right)\\ +\theta \left(\frac{x_1}{a}-t\right) \theta \left(\frac{x_1}{b}-t\right) \left(x_1^2 \left(a^2-b^2\right) \theta \left(\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) x_1\right)+a^2 \left(b^2 t^2-x_1^2\right)\right)\right))\right) [/math]
