КП: Штрафной удар по воротам

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Штрафной удар по воротам


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Филимонов Александр

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Штрайной удар Роберто Карлоса

Аннотация проекта[править]

Данный проект посвящен изучению динамики движения футбольного мяча во время штрафного удара. В ходе работы над проектом был рассмотрен конкретный штрафной удар, который был исполнен Роберто Карлосом в товарищеском матче Бразилия - Франция. Этот удар был симулирован на языке JavaScript [1].

Формулировка задачи[править]

  • Написать программу, которая моделирует процесс движения футбольного мяча во время штрафного удара, с учетом внешних сил и воздействий.

Общие сведения по теме[править]

Роберто Карлос забил в 1997 году в ворота сборной Франции невероятный по красоте гол.

Мяч был установлен примерно в 30 - 35 м от ворот соперников, ближе к правому краю поля. После удара Карлоса мяч полетел далеко в правую сторону, облетел «стенку» в метре от нее и после этого чудесным образом мяч повернул влево и влетел в ворота - к изумлению игроков, вратаря и представителей СМИ.

Этот удар стал наглядным примером силы Магнуса, действующей на тело, движущееся с вращением при обтекании его потоком жидкости или газа.

Траектория движения мяча во время штрафного удара

Решение[править]

[math]\vec{F_{р}} = \vec{F_{тяж}} + \vec{F_{сопр}} + \vec{F_{м}} [/math], где

[math] \vec{F_{р}} [/math] - Равнодействующая сил на мяч;

[math] \vec{F_{тяж}} [/math] - Сила тяжести, действующая на мяч;

[math] \vec{F_{сопр}} [/math] - Сила сопротивления воздуха;

[math] \vec{F_{м}} [/math] - Сила Магнуса [2].


Сила тяжести:

[math] \vec{F_{тяж}} = m\vec{g} [/math], где

[math] m [/math] - масса мяча;

[math] g [/math] - ускорение свободного падения.


Силу сопротивления воздуха будем считать с помощью закона Стокса:

[math]\vec{F} = -6πrη\vec{v} [/math] , где

[math]\vec{F}[/math] - сила Стокса,

[math]r[/math] - радиус мяча,

[math]η[/math] - динамическая вязкость,

[math]\vec{v}[/math] - скорость мяча.


Силу Магнуса примем вида:

[math]\vec{F} = 2Sρr\vec{u}\times\vec{ω} [/math] , где

[math]\vec{F}[/math] - сила Магнуса,

[math]S[/math] - площадь, на которую действует сила

[math]ρ[/math] - плотность воздуха,

[math]r[/math] - радиус мяча,

[math]\vec{u}[/math] - относительная скорость мяча,

[math]\vec{ω}[/math] - угловая скорость мяча.

Применив метод Эйлера, получим формулы для нахождения скорости и координаты мяча:

[math] \begin{cases} v_x^{i+1} = v_x^i + (-6πrηv_x^i/m + 2πρr^3(u_z^iω_y - u_y^iω_z)/m)\Delta t \\ v_y^{i+1} = v_y^i + (-6πrηv_y^i/m + 2πρr^3(u_x^iω_z - u_z^iω_x)/m)\Delta t \\ v_z^{i+1} = v_z^i + (-g-6πrηv_z^i/m + 2πρr^3(u_y^iω_x - u_x^iω_y)/m)\Delta t \\ \end{cases} [/math]

[math] \begin{cases} x^{i+1} = x^i + v_x^i\Delta t \\ y^{i+1} = y^i + v_y^i\Delta t \\ z^{i+1} = z^i + v_z^i\Delta t \\ \end{cases} [/math];


Возможности программы:


  • По нажатию кнопки "Start" запускается процесс прорисовки траектории полета мяча, с выставленными параметрами.
  • По нажатию кнопки "Update" мы обновляем страницу и можем выставить новые начальные значения(условия) полета мяча.

Текст программы на языке JavaScript: 
  1 function main()
  2 {
  3   var scene = new THREE.Scene();
  4   var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth/window.innerHeight, 0.1, 1000);
  5   var render = new THREE.WebGLRenderer();
  6   render.setClearColor(0x87CEFA, 1);
  7   render.setSize(900, 450);
  8   
  9   //Половина футбольного поля
 10     
 11   var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(52.5,70,32,32);
 12   var planeMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0x009900});
 13   var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry, planeMaterial);
 14   plane.position.x=0;
 15   plane.position.y=0;
 16   plane.position.z=0;
 17   scene.add(plane);
 18   //
 19   // Центр поля
 20   
 21   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 22     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(-26.25,-35,0));
 23     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(-26.25,35,0));
 24   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 25   var line1 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 26 
 27         scene.add( line1 );
 28 
 29   var curve = new THREE.EllipseCurve(
 30   -26.25,  0,            // ax, aY
 31   9.15, 9.15,           // xRadius, yRadius
 32   -0.5*Math.PI,  -1.5*Math.PI,  // aStartAngle, aEndAngle
 33   false             // aClockwise
 34   );
 35 
 36   var path = new THREE.Path( curve.getPoints( 50 ) );
 37   var geometry = path.createPointsGeometry( 50 );
 38   var material = new THREE.LineBasicMaterial( { color : 0xffffff } );
 39 
 40 // Create the final Object3d to add to the scene
 41   var ellipse = new THREE.Line( geometry, material );
 42   scene.add(ellipse);
 43   ellipse.position.x=0;
 44   ellipse.position.y=0;
 45   ellipse.position.z=0;
 46   //
 47   //Штрафная
 48   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 49     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.25,20.16,0));
 50     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(9.75,20.16,0));
 51   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 52   var line = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 53 
 54         scene.add( line );
 55   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 56     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.25,-20.16,0));
 57     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(9.75,-20.16,0));
 58   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 59   var line2 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 60 
 61         scene.add( line2 );
 62   
 63   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 64     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(9.75,-20.16,0));
 65     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(9.75,20.16,0));
 66   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 67   var line3 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 68 
 69         scene.add( line3 );
 70   // вратарская зона
 71   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 72     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(20.75,-9.16,0));
 73     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.25,-9.16,0));
 74   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 75   var line4 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 76 
 77         scene.add( line4 );
 78   
 79   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 80     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(20.75,9.16,0));
 81     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.25,9.16,0));
 82   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 83   var line5 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 84 
 85         scene.add( line5 );
 86   
 87   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 88     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(20.75,-9.16,0));
 89     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(20.75,9.16,0));
 90   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
 91   var line6 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
 92 
 93         scene.add( line6 );
 94   //
 95   // ворота
 96   var line_geometry = new THREE.Geometry();
 97     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.25,-3.66,0));
 98     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.25,3.66,0));
 99   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
100   var line7 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
101 
102         scene.add( line7 );
103     
104   var line_geometry = new THREE.Geometry();
105     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.23,-3.66,0));
106     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.23,3.66,0));
107   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
108   var line8 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
109 
110         scene.add( line8 );
111 
112   var line_geometry = new THREE.Geometry();
113     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.22,-3.66,0));
114     line_geometry.vertices.push(new THREE.Vector3(26.22,3.66,0));
115   var   material_line = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xEEEEEE, WireframeLinewidth: 10,wireframe: true, fog:false});
116   var line9 = new THREE.Line(line_geometry,material_line);  
117 
118         scene.add( line9 );
119     
120   var geometry = new THREE.CylinderGeometry( 0.12, 0.12, 2.44, 32 );
121   var material = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0x000000} );
122   var cylinder = new THREE.Mesh( geometry, material );
123   cylinder.rotation.x=0.5*Math.PI;
124   cylinder.position.x=26.25;
125   cylinder.position.y=-3.66;
126   cylinder.position.z=1.22;
127   scene.add( cylinder );
128   
129   var geometry = new THREE.CylinderGeometry( 0.12, 0.12, 2.44, 32 );
130   var material = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0x000000} );
131   var cylinder1 = new THREE.Mesh( geometry, material );
132   cylinder1.rotation.x=0.5*Math.PI;
133   cylinder1.position.x=26.25;
134   cylinder1.position.y=3.66;
135   cylinder1.position.z=1.22;
136   scene.add( cylinder1 );
137   
138   var geometry = new THREE.CylinderGeometry( 0.12, 0.12, 7.56, 32 );
139   var material = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0x000000} );
140   var cylinder1 = new THREE.Mesh( geometry, material );
141   cylinder1.position.x=26.25;
142   cylinder1.position.y=0;
143   cylinder1.position.z=2.44;
144   scene.add( cylinder1 );
145   //
146   var curve = new THREE.EllipseCurve(
147   15.25,  0,            // ax, aY
148   9.15, 9.15,           // xRadius, yRadius
149   0.7*Math.PI,  -0.7*Math.PI,  // aStartAngle, aEndAngle
150   false             // aClockwise
151   );
152 
153   var path = new THREE.Path( curve.getPoints( 50 ) );
154   var geometry = path.createPointsGeometry( 50 );
155   var material = new THREE.LineBasicMaterial( { color : 0xffffff } );
156 
157 // Create the final Object3d to add to the scene
158   var ellipse1 = new THREE.Line( geometry, material );
159   scene.add(ellipse1);
160   ellipse1.position.x=0;
161   ellipse1.position.y=0;
162   ellipse1.position.z=0;
163   //точка пенальти
164   var material = new THREE.MeshBasicMaterial({
165   color: 0xffffff});
166 
167   var radius = 0.4;
168   var segments = 32;
169 
170   var circleGeometry = new THREE.CircleGeometry( radius, segments );        
171   var circle = new THREE.Mesh( circleGeometry, material );
172   scene.add( circle );
173   circle.position.x=15.25;
174   circle.position.y=0;
175   circle.position.z=0;
176   // мяч
177 
178   
179   var geometry = new THREE.SphereGeometry( 0.25, 32, 32 );
180   var material = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0xff0000} );
181   var sphere = new THREE.Mesh( geometry, material );
182   scene.add( sphere );
183   sphere.position.x=-8.75;
184   sphere.position.y=-0.75;
185   sphere.position.z=0.25;
186   //
187   //стенка
188   /**var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(1,4,1,1);
189     var planeMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xcccccc});
190     var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry,planeMaterial);
191     plane.position.x = 0,75;
192     plane.position.y = -1,66;
193     plane.position.z = 0;
194     scene.add(plane);*/
195   
196   var geometry = new THREE.BoxGeometry( 0.5, 3.5, 1.8 );
197   var material = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0xcccccc} );
198   var cube = new THREE.Mesh( geometry, material );
199   cube.position.x = 0.75;
200     cube.position.y = 0;
201     cube.position.z = 0.9;
202   scene.add( cube );
203   
204     var radius1 = 0.25;
205   var segments1 = 32;
206 
207   var circle1Geometry = new THREE.CircleGeometry( radius1, segments1 );        
208   var circle1 = new THREE.Mesh( circle1Geometry, material );
209   scene.add( circle1 );
210   circle1.position.x=0.75;
211   circle1.position.y=-0.5;
212   circle1.position.z=0.9;
213   
214   
215   
216   // положение камеры
217   camera.position.x= 0;
218   camera.position.y= 0;
219   camera.position.z= 80;
220   camera.lookAt(scene.position);
221   $("#webGL").append(render.domElement);
222   
223   var  spotLight = new THREE.SpotLight(0xffffff);
224   spotLight.position.set(0,0,250)  
225   scene.add(spotLight);
226   
227   var trajectoryGeometry = new THREE.SphereGeometry(0.1, 16, 16);
228   var trajectoryMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial( {color: 0x000000,wireframe:true} );
229   
230   
231   
232   var controls = new function() {
233     this.viscosity = 0.0000178;
234     this.AirDensity = 1.2754;
235     this.WindPowerX = 0;
236     this.WindPowerY = 0;
237     this.WindPowerZ = 0;
238     this.BallX_AngularVelocity = 0;
239     this.BallY_AngularVelocity =  0;
240     this.BallZ_AngularVelocity = 10 * 6.28318530718;
241     this.BallVelocityX = 35;
242     this.BallVelocityY = -8.5;
243     this.BallVelocityZ = 2.8;
244   }
245   var gui = new dat.GUI();
246   gui.add(controls, 'viscosity',1,1.5);
247   gui.add(controls, 'AirDensity',1,1.5);
248   
249 
250   var guiScale = gui.addFolder('WindPower');
251   guiScale.add(controls, 'WindPowerX', -100,100);
252   guiScale.add(controls, 'WindPowerY', -100,100);
253   guiScale.add(controls, 'WindPowerZ', -100,100);
254   
255   var guiPosition = gui.addFolder('AngularVelocity');
256   guiPosition.add(controls, 'BallX_AngularVelocity', -100,100);
257   guiPosition.add(controls, 'BallY_AngularVelocity', -100,100);
258   guiPosition.add(controls, 'BallZ_AngularVelocity', -100,100);
259   
260   var guiRotation = gui.addFolder('BallLineVelocity');
261   guiRotation.add(controls, 'BallVelocityX', 0,50);
262   guiRotation.add(controls, 'BallVelocityY', -50,50);
263   guiRotation.add(controls, 'BallVelocityZ', 0,50);
264   
265   control1 = new THREE.OrbitControls(camera);
266   control1.dumping = 0.2;
267 
268 
269 
270 
271   
272   window.addEventListener('resize',onWindowResize,false);
273   function onWindowResize()
274   {
275   camera.aspect = window.innerWidth/window.innerHeight;
276   camera.updateProjectionMatrix();
277   render.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
278 
279   renderer();
280 }
281   //var stats = initStats();
282   var step = 0;
283   
284   
285   
286   
287   var pi = Math.PI;
288   var r = 0.11;
289   var ro = controls.AirDensity;
290   var nu = controls.viscosity;
291   var m = 0.45;
292   var i = 0;
293   var vX = 0;
294   var vY = 0;
295   var vZ = 0;
296   var Wx = controls.BallX_AngularVelocity ;
297   var Wy = controls.BallY_AngularVelocity ;
298   var Wz = controls.BallZ_AngularVelocity ;
299   var dt = 0.01;
300   var g = 9.81
301   
302   vX += controls.BallVelocityX;
303   vY += controls.BallVelocityY;
304   vZ += controls.BallVelocityZ;
305 
306   function renderer()
307   {
308     //stats.update();
309   
310     
311         if (i == 0) 
312     {
313       vX += controls.BallVelocityX;
314       vY += controls.BallVelocityY;
315       vZ += controls.BallVelocityZ;
316       windX = controls.WindPowerX;
317       windY =  controls.WindPowerY;
318       windZ =  controls.WindPowerZ;
319       
320       Wx = controls.BallX_AngularVelocity;
321       Wy = controls.BallY_AngularVelocity;
322       Wz = controls.BallZ_AngularVelocity;
323             
324       i = 1;
325       
326     }
327       
328   
329       if (sphere.position.z >= 0.25 && sphere.position.x <= 40)
330       {
331     var Ux = vX-windX;
332     var Uy = vY-windY;
333     var Uz = vZ-windZ;
334       vX += (-6*pi*r*nu*vX/m + 2*pi*ro*r*r*r*((Uz)*Wy-((Uz))*Wz)/m)*dt;
335       vY += (-6*pi*r*nu*vY/m + 2*pi*ro*r*r*r*((Ux)*Wz)-((Uz))*Wx/m)*dt;
336       vZ += (-g-6*pi*r*nu*vZ/m + 2*pi*ro*r*r*r*((Uy)*Wx-((Ux))*Wy)/m)*dt;
337       
338 
339       sphere.position.x += vX*dt;
340       sphere.position.y += vY*dt;
341       sphere.position.z += vZ*dt;
342           
343       var trajectory = new THREE.Mesh(trajectoryGeometry, trajectoryMaterial);
344       trajectory.position.x = sphere.position.x;
345       trajectory.position.y = sphere.position.y;
346       trajectory.position.z = sphere.position.z;
347       
348       scene.add( trajectory );
349       }
350       
351     
352     requestAnimationFrame(renderer);
353     control1.update();
354     render.render(scene,camera);
355     
356   
357   }
358   this.start = renderer;
359   
360 }

Обсуждение результатов и выводы[править]

  • Таким образом, в ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая траекторию движения мяча во время штрафного удара, а так же смоделирован конкретный удар, при известных условиях.

Входные данные

  • На основании статьи [3], посвященной удару Роберто Карлоса можно вычленить входные данные для нашей программы и посмотреть на полученную в программе траекторию.

- [math] v_{0} = 35 (м/с) [/math] - начальная скорость мяча;

- [math] d = 35 (м) [/math] - расстояние от мяча до ворот;

- [math] \omega_{z} = 10 (об/с) =62.8 (рад/с)[/math] - скорость вращения мяча во время полета;

- Также было известно, что погода была сухая и безветренная, то есть скорость ветра по всем осям равна 0.

  • Подставив в программу данные, полученные учеными, можно увидеть как мяч залетает в ворота.

Вывод: В случае, когда удар нанесен с другой угловой скоростью ( [math] \omega_{z} = 9 (об/с)[/math], в результате работы программы можно увидеть, что мяч не залетает в ворота.

При угловой скорости мяча [math] \omega_{z} = 9 (об/с) [/math] и при увеличении проекции начальной скорости в направлении удара [math] v_{x} = 45 (м/с) [/math], но с теми же значениями по ортогональным осям, мяч залетает в ворота.

На основании полученных результатов можно сказать, что мяч залетел с немалой долей удачи, так как даже с малым изменением параметров меняется вероятность попадания. .


Скачать отчет: Отчет
Скачать презентацию:

Ссылки по теме[править]

Примечания[править]

  1. ↑ JavaScript
  2. ↑ Эффект Магнуса
  3. ↑ статья "Физика футбола"

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Штрафной_удар_по_воротам&oldid=34514»