Метод динамики частиц
Метод динамики частиц основан на представлении материала совокупностью взаимодействующих частиц (материальных точек или твердых тел), для которых записываются классические уравнения динамики. Взаимодействие частиц описывается посредством потенциалов взаимодействия, основным свойством которых является отталкивание при сближении и притяжение при удалении. Перед началом моделирования задается некоторое начальное распределение частиц в пространстве (исходная структура материала) и начальное распределение скоростей частиц (механическое и тепловое движение системы в исходном состоянии). Далее задача сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Традиционно, метод динамики частиц развивался на двух противоположных сторонах масштабной шкалы - для описания молекулярных систем, где в качестве частиц выступали атомы и молекулы, и для описания астрофизических систем, где в качестве частиц выступали объекты значительно большего масштабного уровня, такие как звезды или даже галактики. Не смотря на внешнюю несхожесть, и те и другие системы описываются сходными уравнениями. Постепенно, по мере развития вычислительной техники, данный метод стал все более широко применяться к описанию процессов на промежуточных масштабных уровнях, для моделирования физико-механических свойств материалов и гранулированных сред. В этом случае частицы могут представлять гранулы или зерна материала, однако они могут быть, и не связаны напрямую с некоторыми физическими объектами, а использоваться как конечные элементы для изучения процессов, в которых нарушается континуальность материала.
Одним из наиболее хорошо разработанных вариантов метода динамики частиц является метод молекулярной динамки, на протяжении последних десятилетий интенсивно использующийся для исследования физико-химических свойств материалов. В классической молекулярной динамике в качестве частиц выступают атомы и молекулы, составляющие материал. В настоящее время потенциалы межатомного взаимодействия для важнейших материалов достаточно хорошо известны, что позволяет моделировать динамику молекулярных соединений с высокой степенью точности. В связи с открытием принципиально новых механических и физических свойств у материалов, имеющих структурные элементы нанометрового масштаба, чрезвычайно повысился интерес к моделированию материалов на микроскопическом масштабном уровне.
Для описания больших объемов материала, а тем более, макроскопических объектов, уже невозможно придерживаться молекулярной концепции, и частицы должны представлять собой элементы более крупного масштабного уровня (мезоуровня), такие, как, например, зерна материала. Такой подход интенсивно развивается в механике как альтернатива или дополнение к континуальному описанию материалов при сильном деформировании и разрушении, при изучении гранулированных и сыпучих сред. На этом масштабном уровне обычно разделяют продольную (центральную) и касательную составляющие взаимодействия частиц; наряду с упругим взаимодействием часто рассматривают также непотенциальные силы, особенно важные на касательном направлении. Существует несколько модификаций такого подхода, различающиеся не столько, по сути, сколько по области приложения. Так, широкое распространение получил метод дискретных элементов, используется также названия "крупнозеренная" (coarse grain) молекулярная динамика, динамика мезочастиц и др.
Несомненное преимущество метода частиц по сравнению с методами, основанными на концепции сплошной среды, заключается в том, что он требует значительно меньше априорных предположений о свойствах материала. Действительно, использование только простейшего потенциала взаимодействия (например, типа Леннард-Джонса) и незначительной диссипации позволяет моделировать такие сложнейшие эффекты, как пластичность, образование трещин, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы. Для описания каждого из этих эффектов в рамках сплошной среды требуется отдельная теория, в то время как при моделировании методом частиц эти эффекты получаются автоматически, в результате интегрирования уравнений движения. В частности необратимость механических процессов достигается за счет перехода механической энергии длинноволновых движений материала в тепловую энергию хаотического движения частиц.
Потенциал взаимодействия в динамике частиц играет такую же роль, что и определяющие уравнения в механике сплошной среды. Однако структура потенциала неизмеримо проще, чем у определяющих уравнений, так как он представляет собой скалярную функцию расстояния, в то время как определяющие уравнения представляют собой операторы, в которые входят тензорные характеристики напряженного состояния и деформирования, а также термодинамические величины. Конкретный вид потенциала взаимодействия частиц определяется из сравнения механических свойств компьютерного и реального материалов. Для простейших характеристик, таких как, например, упругие модули, это сравнение может быть проведено аналитически. В остальных же случаях соответствие устанавливается на основе тестовых компьютерных экспериментов. Ограниченное применение метода частиц в механике разрушения до настоящего времени связано с тем, что этот метод требует значительных компьютерных ресурсов. Интенсивное развитие многопроцессорных вычислительных систем в России делает возможным моделирование механических свойств материалов с высокой степенью достоверности. Метод частиц обладает тем преимуществом, что, в силу ограниченности радиуса взаимодействия между частицами, он допускает почти полное распараллеливание процессов, происходящих в смежных областях пространства. Это позволяет эффективно применять данный метод на многопроцессорных вычислительных системах, полностью реализуя их возможности по увеличению быстродействия и управлению большими объемами данных.
В континуальной механике в задачах сильного деформирования наряду с сеточными методами и методом конечных элементов также широко стали применяться методы частиц, такие как метод сглаженных частиц, метод крупных частиц, метод частиц в ячейках и др. В отличие от перечисленных выше дискретных методов, где дискретность проявляется на физическом уровне написания уравнений динамики и взаимодействия частиц, в данных методах дискретность выступает в качестве математического приема решения континуальных уравнений механики сплошной среды. Однако эта алгоритмическая схожесть дискретных и континуальных подходов может послужить основой для их сращивания и установления связи между различными масштабными уровнями. Цепочка математических моделей, описывающих физико-механические процессы в материале, может состоять из отдельных модулей, специализирующихся, соответственно, на описании атомарной структуры (метод молекулярной динамики), описания мезоструктуры (метод частиц применительно к зернам и гранулам) и моделирования макроскопических процессов (сращивание с континуальными методами, такими как метод конечных элементов и метод сглаженных частиц). С помощью аналитического аппарата могут получаться зависимости, позволяющее в дальнейшем в ходе расчета осуществлять связь между параметрами моделирования на разных масштабных уровнях, динамически передавать данные и осуществлять параллельное моделирование процессов. Так, моделирование развития трещины может включать атомарное моделирование процессов разрушения в ее вершине, мезоскопическое моделирование развития берегов трещины и макроскопическое моделирование деформирования образца с трещиной.
