Ковалев Олег. Проект "Фуллерены С20 и С60".

Фуллерен [math]C_{60}[/math]

Задачи, рассматриваемые в проекте

• Расчет модулей объемного сжатия фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math], в случае линейного и нелинейного объемного деформирования
• Определение частоты радиальных колебаний фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math]

Результаты

• Для случая линейного объемного деформирования фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math] было получено следующее аналитическое выражение для модуля объемного сжатия:

[math] B = N\frac{a_0k{\rm cos}\alpha}{S}, [/math]

где [math]N-[/math] количество атомов углерода в фуллерене, [math]S-[/math] эквивалентная площадь фуллерена, [math]\alpha-[/math] угол между силой, направленной вдоль радиуса, и направлением одной из трех связей атома, [math]k-[/math] жесткость связи, [math]a_0-[/math] равновесное расстояние между двумя соседними атомами углерода.

• В случае нелинейного объемного деформирования вычисления проводились с использованием потенциала Леннарда-Джонса. Были получены следующие аналитические выражение для давления и модуля объемного сжатия:

[math] P\left( \frac{V}{V_0}\right) = \frac{36ND\rm cos\alpha}{Sa_0}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{13}{3}}-\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{7}{3}}\right], [/math]

[math] B=\frac{72ND\rm cos\alpha}{Sa_0}, [/math]

где [math]D-[/math] глубина потенциальной ямы.

Значения модуля объемного сжатия B, расчитанные для различных значений S представлены в приведенной ниже таблице:

Площадь	Жесткость связи, H/м	Модуль объемного сжатия B, ГПа
		фуллерен [math]C_{20}[/math]	фуллерен [math]C_{60}[/math]
описанной сферы	762	1538	834
	708	1429	775
	672	1356	736
	660	1332	723
	635	1282	695
вписанной сферы	762	2436	997
	708	2263	926
	672	2148	879
	660	210	863
	635	2030	830
многогранника	762	1838	887
	708	1708	824
	672	1621	782
	660	1592	768
	635	1532	739

Из таблицы видно, что значение модуля объемного сжатия B фуллерена [math]C_{20}[/math] практически в два раза превышает аналогичное значение для фуллерена [math]C_{60}[/math]. При этом величина В существенно зависит от выбора эквивалентной площади поверхности S. Максимальная разница между значениями В, вычисленными при разных S и одинаковой жесткости связи, составляет 37% для [math]C_{20}[/math] и 16% для [math]C_{60}[/math].

• Частота радиальных колебаний фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math]

[math] \omega=\sqrt{\frac{6k}{m}}\rm cos\alpha, [/math]

здесь m- масса одного атома углерода.

При [math] m=1.994\cdot 10^{-26} [/math] кг, k=635 H/м для [math]C_{20}[/math] [math]\omega=156.0[/math] ТГц, для [math]C_{60}[/math] [math]\omega=89.17[/math] ТГц.

Научный руководитель

Виталий Кузькин

Публикации

1. Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations of fullerenes C20 and C60 // Proc. of Summer School – Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2011, [paper in press]
2. Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations of fullerenes C20 and C60 // NANOSYSTEMS: PHYSICS, CHEMISTRY, MATHEMATICS, 2011, 2 (2), P. 65–70
3. Ковалев O.O., Кузькин В. A. Вычисление модулей объемного сжатия фуллеренов С20 и С60 // Сборник “Неделя науки”.