Вычисление числа Пи. Мирошник Глеб. 6 курс

Цель

Оценить число π при помощи знакочередующегося ряда Лейбница двумя способами: суммированием и интегрированием. Разработать программу для параллельных вычислений. Оценить скорость вычислений в зависимости от количества задействованных процессоров.

Постановка задачи

Лейбниц доказал, что ряд

[math]1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\cdot\cdot\cdot=\sum^{\infty}_{n=1} {\frac{(-1)^{n}}{2n+1}}[/math]

равен

[math]\frac{\pi}{4}[/math].

Также данный ряд можно получить разложением арктангенса 1 в ряд Тейлора, что даёт нам возможность оценить число π вычислением определённого интеграла

[math]\int\limits_0^1 \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}[/math]

Предлагаемое решение

Суммированием элементов ряда

После объявления переменных и инициализации MPI запускается счётчик времени. Предлагается при фиксированном количестве элементов ряда n считать элементы последовательно каждым процессором, "перепрыгивая" через количество процессов, занятых в расчёте. Начальный рассчитываемый номер ряда определяется порядковым номером процесса. Рассчитанный элемент добавляется к сумме внутри процесса. После окончания расчёта предварительные суммы "скидываются" в нулевой процесс и суммируются между собой. Таймер останавливается. Происходит вычисление ошибки по эталонному значению числа π и вывод информации о расчёте.

Численным вычислением определённого интеграла

Численное вычисление интеграла предлагается проводить методом прямоугольников. Сам же процесс будет аналогичен решению суммированием элементов ряда.

Листинг программ

Для суммирования ряда

#include "stdafx.h" #include <iostream> #include "mpi.h" #include <math.h> #include <time.h> using namespace std; #define Iterations 10000000 //количество итераций


int main() {

int ProcNum, ProcRank, i;

double x, MyPi = 0;

double Sum = 0;

double TotalTime;

clock_t StartClock, EndClock; // объявляем стартовую и конечную переменную таймера и инициализируем стартовую переменную

StartClock = clock();

MPI_Init(NULL, NULL); // инициализируем MPI

MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &ProcNum); // записываем количество процессов с переменную ProcNum

MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &ProcRank); // записываем номер процесса в переменную ProcRank

for (i = ProcRank; i < Iterations; i += ProcNum)

{

x = pow(-1,ProcRank)*4/(2*i + 1);

Sum += x;

}

MPI_Reduce(&Sum, &MyPi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD); // пердварительные суммы Sum в переменную MyPi

MPI_Finalize(); // завершаем работу MPI

if (ProcRank == 0)

{


EndClock = clock(); // останавливаем таймер и переходим к выводу результатов на экран

printf("Number of iterations = %i\n", Iterations);

printf("Obtained value of Pi = %3.20f\n", MyPi);

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;

printf("Refrence value of Pi = %3.20f\n", pi);

printf("Error = %3.20f\n", abs(MyPi - pi));

TotalTime = (double)(EndClock - StartClock) / CLOCKS_PER_SEC;

printf("Computing time = %f sec\n", TotalTime);

} }

Для вычисления интеграла

#include "stdafx.h" #include <iostream> #include "mpi.h" #include <math.h> #include <time.h> using namespace std; #define Iterations 10000000 //количество итераций


int main() {

int ProcNum, ProcRank, i;

double x, MyPi = 0;

double Sum = 0;

double TotalTime;

clock_t StartClock, EndClock; // объявляем стартовую и конечную переменную таймера и инициализируем стартовую переменную

StartClock = clock();

MPI_Init(NULL, NULL); // инициализируем MPI

MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &ProcNum); // записываем количество процессов с переменную ProcNum

MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &ProcRank); // записываем номер процесса в переменную ProcRank

double h = 1.0 / Iterations;

for (i = ProcRank; i < Iterations; i += ProcNum) // вычисляем численно интеграл по методу прямоугольников

{

x = (i + 0.5) * h;

Sum += 4.0 / (1 + x*x); // (после общего суммирования надо будет разделить на количество итераций)

}

MPI_Reduce(&Sum, &MyPi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD); // пердварительные суммы Sum в переменную MyPi

MPI_Finalize(); // завершаем работу MPI

if (ProcRank == 0)

{

MyPi *= h; //делим сумму на количество итераций

EndClock = clock(); // останавливаем таймер и переходим к выводу результатов на экран

printf("Number of iterations = %i\n", Iterations);

printf("Obtained value of Pi = %3.20f\n", MyPi);

double pi = 3.1415926535897932384626433832795;

printf("Refrence value of Pi = %3.20f\n", pi);

printf("Error = %3.20f\n", abs(MyPi - pi));

TotalTime = (double)(EndClock - StartClock) / CLOCKS_PER_SEC;

printf("Computing time = %f sec\n", TotalTime);

} }

Компьютерная реализация

Оценка числа π

Результаты (при 10млн итераций)

Для суммирования ряда

Количество процессов	Ошибка вычисления	Время расчёта (сек)
1	33.02161870037517132914	1.757
2	0.00000010000398731336	0.979
3	10.37762764928963399313	0.750
4	0.00000009999904815317	0.727

Для интегрирования

Количество процессов	Ошибка вычисления	Время расчёта (сек)
1	0.00000000000006217249	0.246
2	0.00000000000019184654	0.144
3	0.00000000000011946000	0.128
4	0.00000000000010702550	0.112

Выводы

• При увеличении количества процессов сокращается время выполнения программы, но относительный выигрыш по времени уменьшается.
• Интегрирование при одинаковом количестве итераций даёт более точный результат, а так же результат интегрирующей программы не зависит от количества процессов (при запуске программы с чётным количеством процессов появляется ошибка больше 100%).
• Ошибка вычисления при интегрировании связана с ограниченным количеством символов типа double; ошибка вычисления при суммировании может быть уменьшена увеличением количества элементов ряда.