Статистические характеристики дискретных сред

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС > Статистические характеристики ДС

---

Deriving macroscopic phenomenological laws of irreversible thermodynamics from simple microscopic models is one of the tasks of non-equilibrium statistical mechanics. Lepri, Livi & Politi - Physics Reports, 2003, (arXiv).

Обозначения и терминология

Обозначение	Русское название	English name
[math]X[/math]	Случайная величина	Random variable
[math]X(t)[/math]	Случайный процесс	Stochastic process
[math]X_1, X_2, \dots, X_N[/math]	Случайный вектор [1]	Multivariate random variable (random vector)
[math]F(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )[/math]	Функция распределения	Cumulative distribution function
[math]f(x) = F'(x)[/math]	Плотность распределения	Probability density function (distribution density)
[math]\left\lt X\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x f(x)dx[/math]	Математическое ожидание	Expected value (mathematical expectation)
[math]\varphi(s) = \left\lt e^{isX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{isx} f(x)dx[/math]	Характеристическая функция	Characteristic function
[math]M(s) = \left\lt e^{sX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{sx} f(x)dx[/math]	Производящая функция моментов	Moment-generating function
[math]\nu_n = \left\lt X^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)dx = \left.\frac{d^n}{ds^n} M(s)\right|_{s=0}[/math]	Начальный момент [2]	Raw moment [3]
[math]\mu_n = \left\lt (X-\nu_1)^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty (x-\nu_1)^n f(x)dx[/math]	Центральный момент [4]	Central moment [5]
[math]\eta_n = \frac{\mu_n}{\sigma^n} = \lambda_{n/2}[/math]	Нормированный момент	Standardized moment
[math]\kappa_n = \left.\frac{d^n}{ds^n}\ln M(s)\right|_{s=0} = (-i)^n\left.\frac{d^n}{ds^n}\ln \varphi(s)\right|_{s=0}[/math]	Полуинвариант (кумулянт)	Cumulant
[math]\sigma^2 = \mu_2 = \kappa_2 [/math]	Дисперсия	Variance
[math]\sigma = \sqrt{\mu_2}[/math]	Среднеквадратическое отклонение	Standard deviation
[math]\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}[/math]	Коэффициент асимметрии	Skewness
[math]\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \lambda_2 - 3[/math]	Коэффициент эксцесса	Kurtosis (excess kurtosis)
[math]\eta_4 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \lambda_2[/math]	4-й нормированный момент [6]	Historical kurtosis [7]
[math]f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\nu)^2}{2\sigma^2} }[/math]	Плотность нормального распределения	Normal distribution density

Полезные формулы

• Распределение случайной величины [math]Y[/math], являющейся функцией случайной величины [math]X[/math]

[math] F_y\bigl(y\bigr) = F_x\bigl(x(y)\bigr) ,\qquad f_y\bigl(y\bigr) = f_x\bigl(x(y)\bigr)\,x'(y). [/math]

• Нормированные моменты нормальной случайной величины

[math]\lambda_n = \eta_{2n} = \frac{\mu_{2n}}{\sigma^{2n}} = (2n-1)!!\qquad ([/math]нечетные моменты равны нулю[math])[/math].

• Коэффициент эксцесса суммы независимых случайных величин

[math] \gamma_2\left(\sum_{n=1}^N X_n\right) = \frac{\sum_{n=1}^N\sigma^4(X_n)\,\gamma_2(X_n)}{\left(\sum_{n=1}^N\sigma^2(X_n)\right)^2} = \frac1{N^2}\sum_{n=1}^N\gamma_2(X_n) = \frac1{N}\gamma_2(X_n), [/math]

где второе равенство выполняется для случайных величин с равной дисперсией, а третье равенство — для равнораспределенных случайных величин.

Научные разделы, связанные со статистическим описанием дискретных сред

• Теория вероятностей и Математическая статистика
  • Центральная предельная теорема
• Стохастическое исчисление
  • Стохастическое дифференциальное уравнение
    • Уравнение Ланжевена
  • Уравнение Фоккера — Планка
  • Стохастическое исчисление Ито
  • Математические модели: Белый шум, Винеровский процесс, Случайное блуждание, Мартингал
  • Физические модели: Броуновское движение
  • С.С. Степанов. Стохастический мир
• Статистическая механика
  • Распределение Гиббса
  • Статистика Максвелла — Больцмана
  • Теорема Лиувилля
  • Теорема о вириале
  • Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы
  • Цепочка уравнений Боголюбова
  • Формулы Грина — Кубо
  • Fermi–Pasta–Ulam problem
  • Toda lattice
• Статистическая физика
• Физическая кинетика
  • Кинетическое уравнение Больцмана
  • Уравнение Власова
  • Фонон
• Химическая кинетика
  • Уравнение Аррениуса
• Термодинамика
• Неравновесная термодинамика
  • Onsager reciprocal relations
• Ergodic theory
  • Эргодичность, эргодическая гипотеза, ergodic process
• Discrete calculus and discrete analysis
  • Finite difference
  • Recurrence relation
  • Logistic map
  • Z-transform
  • See also Discrete mathematics

Разное

• Вероятностное пространство
• Differential entropy
• Непрерывные распределения вероятности, которые могут выступать обобщениями нормального распределения
  • Pearson distribution — a four-parametric family of probability distributions that extend the normal law to include different skewness and kurtosis values [8].
  • Student's t-distribution — a one-parametric family of simmetric probability distributions estimating the mean of a normally distributed population (can be generalized to a three-parametric location-scale family).
  • Generalized normal distribution — two families (symmetric and non-symmetric) of probability distributions adding a shape parameter to the normal distribution.
  • См. также List of probability distributions and Relationships among probability distributions.
• R (programming language) — free software programming language and software environment for statistical computing and graphics.

Литература

• Hoover W.G. Computational Statistical Mechanics. Series "Studies in Modern Thermodynamics". Elsevier Science Publisher, Amsterdam, 1991, 324 pp. (Download pdf: 23 Mb, download page)
• Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики (излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики). М.-Л.: ОГИЗ, 1946. (Скачать djvu: 2.5 Mb, страница загрузки).

Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics. New York: Charles Scribner's Sons. (Download djvu: 19 Mb, download page).

• Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: 2.4 Mb, страница загрузки).

Born M. «Continuity, determinism and reality», Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-fysiske Meddelelser, Bind 30, Nr.2, (1955) 1-26.

— Впервые рассмотрена (согласно [9]) классическая статистическая механика одной частицы (1955 г.)

• Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. Оглавление

Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Download djvu: 3.9 Mb, download page).

— A negative result (Theorem 7.3.5): The cumulant generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2. <toggledisplay status=hide showtext="Clarification >>" hidetext="Clarification <<" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the normal distribution, it might be hoped to find families of distributions for which κ_m = κ_m+1 = ... = 0 for some m > 3, with the lower-order cumulants (orders 3 to m − 1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions. In other words: the normal distribution is the only distribution with a finite number (two) of non-zero cumulants.)</toggledisplay> <toggledisplay status=hide showtext="Origin >>" hidetext="Origin <<" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной Юзефом Марцинкевичем, польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 (read online, download pdf: 397 Kb download page). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. Abstract. </toggledisplay>

• Sergey S. Stepanov. Stochastic World. (Series: Mathematical Engineering). Springer, 2013, 339 p. Springerlink

Стохастический мир — русская версия в вики-формате.

— Простое введение в стохастические дифференциальные уравнения.

• Теория вероятностей и математическая статистика на сайте EqWorld
• Статистическая физика на сайте EqWorld
• Probability на сайте Белорусская научная библиотека
• List of textbooks in statistical mechanics

См. также

• Одномерный кристалл
• Механика дискретных сред

Приложение к динамике цепочки

Рассмотрим одномерную дискретную среду, сотоящую из [math]N[/math] частиц. Обозначим [math]u_n[/math] — некоторую характеристику частицы, например ее перемещение. Введем среднее значение характеристики как

[math]\left\lt u_n\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n[/math]

и среднее значение степени [math]k[/math]

[math]\left\lt u_n^k\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n^k[/math].

Если интерпретировать [math]u_n[/math] как случайную величину, то при достаточно большом [math]N[/math] величину [math]\left\lt u_n^k\right\gt [/math] можно называть [math]k[/math]-м моментом случайной величины.

Ссылки

• Случайные величины и их характеристики
  • Случайная величина
  • Вероятностное пространство
  • Моменты случайной величины
  • Случайный процесс
  • Multivariate random variable (random vector)

Терминология

• Начальным и центральным моментом случайной величины [math]\displaystyle X[/math] называются, соответственно, величины

[math]\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], \qquad \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right][/math]

где [math]\mathbb{E}[/math] — математическое ожидание случайной величины, [math]k[/math] — степень момента.

• [math]\nu_1=\mathbb{E}\left[X\right][/math] — математическое ожидание, [math]\mu_2=\sigma^2[/math] — дисперсия, [math]\mu_3/\sigma^3[/math] — коэффициент асимметрии, [math](\mu_4/\sigma^4-3)[/math] — коэффициент эксцесса.

Словарь

• Случайная величина — Random variable
• Математическое ожидание — Expected value (mathematical expectation)
• Дисперсия случайной величины — Variance
• Среднеквадратическое отклонение — Standard deviation
• Коэффициент асимметрии — Skewness
• Коэффициент эксцесса — Kurtosis

</toggledisplay>

}}